omk 2007

jinqwem

老实说, 今年的OMK试题有点令人失望...
第一题, 设a_1=6, a_n=6^(a_n-1), 求a_100 除11的余.
第二题, 设 -1<y<0<x<1, A=x^2*y,B=x*y^2, C=1/( x^2*y), D=1/(x*y^2),请将ABCD由小到大排列...
第三题, 设一三角一边为4cm, 其另外两边的比为一比三, 求三角的最大面积.
第四题,
第五题, 将580 表示为两个平方的和,
第六题, 设f(2n+1)=f(n), f(2n)=1-f(n), f(2007)=?

第一题, 当函数F和G 的DOMAIN是{0,2C}时, 试证一定有一组解, 使到|XY - F(X)+G(Y)| 大过或等于C^2
第二题, 两个圆形, 其半径各为1和2touch each other, if there are  third circle touche the ist and second one, and the center of three circle form a right angle triangle, find radius of third circle...
第三题, 设M和N为{1,2,3,4....2007}的数,
且(N^2-M*N-M^2)^2=1,
求M^2+N^2的最大值...

kenny56

muda组的。

1.解equation x+y=2 2xy-z^2=1 x,y,z is integer
2.运动会为期四天。派出了n个奖牌。第一天派出n的1/5，第二天派出了第一天所剩余的2/5,第三天派出了第二天所剩的3/5,第四天派出了24个奖牌。请问总共派出了多少奖牌。
3.2xyz7是个5位数。5个数的积是0，5个数的和可以被9整除。这种数目有多少个？
4.ABCD is a rectangle.The line DP intersects the diagonal AC at Q and divides it into ratio of 1:4.If area of triagle APQ is one unit square.Determine the area of rectangle.
5.找出最小的数目。当此数被2除余1，被3除余2，被4初余3，被5除余4。
6.设f(2n+1)=f(n)-1, f(2n)=-2f(n),f(0)=2, f(2007)=?

1.8(y^2+1/y^2)-56(y+1/y)+112=0   y^2+1/y^2=？
2.设一三角一边为4cm, 其另外两边的比为一比三, 求三角的最大面积.
3.当函数F和G 的DOMAIN是{0,2C}时, 试证一定有一组解, 使到|XY - F(X)+G(Y)| 大过或等于C^2

[ 本帖最后由 kenny56 于 25-6-2007 12:19 AM 编辑 ]

jinqwem

muda
1. x=y=z=1?
2. 25?
3. 30?
4. 是不是有说P lie on AB的?
5. 59?
6. 1/2....

1. 7 和14?
2. 3?
3. 由于不知, F(X)和G(X)是什么, 推论的时候很头痛下...

jinqwem

第一题, 当函数F和G 的DOMAIN是{0,2C}时,C是正数,  试证一定有一组解, 使到|XY - F(X)+G(Y)| 大过或等于C^2
谈谈这题,
当G(X)>F(X)>0, 或0>G(X)>F(X), 是有解.
当F(X)>G(X)>0, F(X+1)<F(X)时,也不难推出有解.
可是如果 F(X)>G(X)>0, F(X+1)>F(X)时, 该怎么确定|XY - F(X)+G(Y)| 大过或等于C^2呢?
希望dunwantotellu or 多普勒效应或HamilaN 等高手帮忙一下...

kbubble

jingwen,你今年有参加吗?


我知道第四题的题目,但是要如何打那个log?

kbubble

我不太明白MUDA 组的第六题,有谁可以解释给我听吗?

hamilan911

原帖由 kenny56 于 23-6-2007 02:45 PM 发表
muda组的。

1.解equation x+y=2 2xy-z^2=1
2.运动会为期四天。派出了n个奖牌。第一天派出n的1/5，第二天派出了第一天所剩余的2/5,第三天派出了第二天的3/5,第四天派出了24个奖牌。请问总共派出了多少奖牌。 ...

看到用心算就能做了，炸到
1. 应该x,y,z都是integer 吧？
   用vieta可得z = 0 or 1 or +-1
   不过x,y,z都是integer,所以只有（1，1，1）这副答案
   ...
2. 第三天派出的应该是第二天所剩的3/5  可得总共125面
3. 我算到是31 做法明天再加上
4. 懒惰画，还没想
5. 老掉牙的题目 59
6. f(2007) = f(1003) = f(501) = f(250) = 1 - f(125) = 1 - f(62) = 1 - (1 - f(31)) =
   f(31) = f(15) = f(7) = f(3) = f(1) = f(0) = 2

1. 7和14 ，做法过后再补上
2. let the 2 side be k and 3k
   利用heron's formula 和differentiation,可得最大体积是3
3. 过后再想

kbubble

原帖由 hamilan911 于 23-6-2007 03:39 PM 发表

看到用心算就能做了，炸到
1. 应该x,y,z都是integer 吧？
   用vieta可得z = 0 or 1 or +-1
   不过x,y,z都是integer,所以只有（1，1，1）这副答案
   ...
2. 第三天派出的应该是第二天所剩的3/5  可 ...

可以详细解释你的第6题吗?我不明白它的题目和你的做法.

dunwan2tellu

第一题, 设a_1=6, a_n=6^(a_n-1), 求a_100 除11的余.

典型的 mod 运用 : 余数 = 5

第二题, 设 -1<y<0<x<1, A=x^2*y,B=x*y^2, C=1/( x^2*y), D=1/(x*y^2),请将ABCD由小到大排列...

明显 : C , A , B , D

第三题, 设一三角一边为4cm, 其另外两边的比为一比三, 求三角的最大面积.

暂时想到的和 hamilan911 一样，不过不需要 differentiation , 因为出来的东西很美

Area = 2 sqrt[-(k^2-5/2)^2 + 9/4]
max = 3 when k = sqrt[5/2]

第四题,

第五题, 将580 表示为两个平方的和,

580 = 4 x 31 x 5

无解，因为有odd number 个 prime factor in the form 4k + 3 （也就是 31)

第六题, 设f(2n+1)=f(n), f(2n)=1-f(n), f(2007)=?

少掉 f(0) = 2 ?

第一题, 当函数F和G 的DOMAIN是{0,2C}时, 试证一定有一组解, 使到|XY - F(X)+G(Y)| 大过或等于C^2

在想

第二题, 两个圆形, 其半径各为1和2touch each other, if there are  third circle touche the ist and second one, and the center of three circle form a right angle triangle, find radius of third circle...

let radius = r , consider 2 cases

(i) if hypotenus = 3
then (r+1)^2 + (r+2)^2 = 9  
(ii)if hypotenus = r+2 ,
then 9 + (r+1)^2 = (r+2)^2

第三题, 设M和N为{1,2,3,4....2007}的数,
且(N^2-M*N-M^2)^2=1,
求M^2+N^2的最大值...

这题是不错，因为是某某国家的 olimpiad 题目（曾经做过），M,N 只能是 Fibbonanci Number .

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 23-6-2007 07:02 PM 编辑 ]

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 23-6-2007 05:53 PM 发表

典型的 mod 运用 : 余数 = 5


明显 : C , A , B , D


暂时想到的和 hamilan911 一样

第四题,


580 = 4 x 31 x 5

无解，因为有odd number 个 prime factor in the form 4k + 3 （也就是 31 ...

第五题，580 = 4 x 5 x 29 ,所以不是没有解

a^2 + b^2 = （a+b）^2 - 2ab = 580
2ab是偶，所以 (a+b)^2也是偶
大过580的偶数平方有676,784,900，...
然后作一下分析，可得 580 = 24^2 + 2^2
dunwan2tellu,帮忙想一下别的解法

楼上的muda Q3,你少考虑5个数的积是0
所以x,y,z必然至少有一个0
（0，0，0），（0，9，9）x3 ,（0，0，9）x3
（0）加上( 1to8配 8to1） = 3 x 8 = 24
总数是1+3+3+24 = 31

[ 本帖最后由 hamilan911 于 23-6-2007 06:25 PM 编辑 ]

Leong13

我也有take part 這次的比賽，想到要post上來，沒想到jinqwem同學比我快一步，我想請各位高手幫忙解第３，６，１，３。謝謝。

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 23-6-2007 06:21 PM 发表

第五题，580 = 4 x 5 x 29 ,所以不是没有解

a^2 + b^2 = （a+b）^2 - 2ab = 580
2ab是偶，所以 (a+b)^2也是偶
大过580的偶数平方有676,784,900，...
然后作一下分析，可得 580 = 24^2 + 2^2
dunwan2te ...

不小心 tafsir 错，以为是 last digit = 0

580 = 4 x 5 x 29 = 2^2 x ( 2^2 + 1^2)( 5^2 + 2^2)

然后用 (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 或 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 23-6-2007 06:58 PM 编辑 ]

nikuang04

原帖由 hamilan911 于 23-6-2007 18:21 发表

第五题，580 = 4 x 5 x 29 ,所以不是没有解

a^2 + b^2 = （a+b）^2 - 2ab = 580
2ab是偶，所以 (a+b)^2也是偶
大过580的偶数平方有676,784,900，...
然后作一下分析，可得 580 = 24^2 + 2^2
dunwan2te ...

我先猜到是18^2+16^2
然后再用580=20X29= (18+2)(18+11)做做做
看来sulong的 f(2007)没有解，因为没给f(0)=2

刚才我告诉你我朋友解到1/2
原来他们是这样做的；
f(2n+1)+f(2n)=1
所以f(2007)+f(2006)=1
f(2006)+f(2005)=1
......得 f(1)+f(0)=1

他们又说题目给f(2n)=1-f(n)
所以f(0)=1-f(0)
f(0)=1/2.得f(1)=1/2
炸到。。。。。。
很明显f(2006)+f(2005)=1是错误的。
因为2006不能写成2n+1而且2005也不能写成2n，题目有说明function on non negative integers!!

我的做法和你在上面的做法一样。可是停在f(1)了。
我的答案就写f(1)

今年的题目

nikuang04

原帖由 dunwan2tellu 于 23-6-2007 17:53 发表

  &#160;&#160;典型的 mod 运用 : 余数 = 5


  &#160;&#160;明显 : C , A , B , D


  &#160;&#160;暂时想到的和 hamilan911 一样，不过不需要 differentiation , 因为出来的东西很美

  &#160;&#160;Area = 2 sqrt
  &#160;&#160;max = 3 when k = sqrt

  &#160;&#160;第四题,

&#160;&#160;&#160;&#160;...

  题目不是这个：
&#160;&#160;第二题, 设 -1<y<0<x<1, A=x^2*y,B=x*y^2, C=1/( x^2*y), D=1/(x*y^2),请将ABCD由小到大排列...
  而是这个：
  A=x^2y. B=1/A(懒惰打), C=y^x.D=1/C
&#160;&#160;

  所以答案是BACD

请问sulong最后一题答案是什么？怎么做？

[ 本帖最后由 nikuang04 于 23-6-2007 07:10 PM 编辑 ]

kenny56

原帖由 hamilan911 于 23-6-2007 03:39 PM 发表
2. let the 2 side be k and 3k
   利用heron's formula 和differentiation,可得最大体积是3

可以详细解释吗？怎样differentiation? B项第一题竟然会出我们高一高数课本的其中一个例题。A项第三题小弟算到是28，请解释你的做法。A项第1，2小弟打少一些东西了，题目编辑过了。

nikuang04

原帖由 kenny56 于 23-6-2007 19:08 发表


可以详细解释吗？怎样differentiation? B项第一题竟然会出我们高一高数课本的其中一个例题。A项第三题小弟算到是28，请解释你的做法。A项第1，2小弟打少一些东西了，题目编辑过了。

这题我们sulong组也有
用面积A=surd(s(s-a)(s-b)(s-c))来做
s是拿3条边的和除以2，即 4+x+3x/2= 2+2x
s-a=2x-2
s-b=2+x
s-c=2-x
然后的A= surd ( -16+20x^2-4x^4) （不知道有没有记错）
微分得x= surd 5/2
所以A=3

kenny56

原帖由 nikuang04 于 23-6-2007 07:14 PM 发表


这题我们sulong组也有
用面积A=surd(s(s-a)(s-b)(s-c))来做
s是拿3条边的和除以2，即 4+x+3x/2= 2+2x
s-a=2x-2
s-b=2+x
s-c=2-x
然后的A= surd ( -16+20x^2-4x^4) （不知道有没有记错）
微分得x= su ...

原来这题有用到微分，我还没学到。

dunwan2tellu

原帖由 kenny56 于 23-6-2007 07:28 PM 发表

原来这题有用到微分，我还没学到。

一元二次方程来的。用配方法就能得到最大值了

dunwan2tellu

原帖由 nikuang04 于 23-6-2007 07:06 PM 发表


  题目不是这个：
  第二题, 设 -1<y<0<x<1, A=x^2*y,B=x*y^2, C=1/( x^2*y), D=1/(x*y^2),请将ABCD由小到大排列...
  而是这个：
  A=x^2y. B=1/A(懒惰打), C=y^x.D=1/C
 ...

先观察和猜 solution , 比如设 m = 1 的话 n = ? ; m = 2 的话 n = ?

看到 pattern 好像 Fibonanci Number

设 m = a , n = b 是 solution ; 那么 m = a , n = a+b 也是 solution

nikuang04

原帖由 dunwan2tellu 于 23-6-2007 19:34 发表


一元二次方程来的。用配方法就能得到最大值了

这个要怎么用一元二次方程呢？可以解释吗？