古代名题求答案。。。

kee020041

古代名题求答案

孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟；
一天鬼谷子出了这道题目：

鬼谷子从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞；

庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。

孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。

庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。

问这两个数字是什么？为什么？


这个问题是从别处的论坛看到的，但他的解释不大明白。现请这里的高人解答。。


答案：

假设数为 X,Y ;和为X+Y=A,积为X*Y=B.
根据庞第一次所说的：“我肯定你也不知道这两个数是什么”。由此知道，X+Y不是两个素数之和。那么A的可能值为 11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97.
我们再计算一下B的可能值：
和是11能得到的积:18,24,28,30
和是17能得到的积:30,42,52,60,66,70,72
和是23能得到的积:42,60...
和是27能得到的积:50,72...
和是29能得到的积:...
和是35能得到的积:66...
和是37能得到的积:70...
我们可以得出可能的B为....，当然了，有些数（30=5*6=2*15）出现不止一次。

这时候，孙依据自己的数比较计算后，“我现在能够确定这两个数字了。”
我们依据这句话，和我们算出来的B的集合，我们又可以把计算出来的B的集合删除一些重复数。

和是11能得到的积:18,24,28
和是17能得到的积:52
和是23能得到的积:42,76...
和是27能得到的积:50,92...
和是29能得到的积:54,78...
和是35能得到的积:96,124...
和是37能得到的积:,...
因为庞说：“既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。”那么由和得出的积也必须是唯一的，由上面知道只有一行是剩下一个数的，那就是和17积52。
那么X和Y分别是4和13

[ 本帖最后由 kee020041 于 25-4-2006 01:24 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

设 S = 两数和 ，P = 两数积 ,原本的两个数= m ,n  , 2=< m,n=<99

庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。

(i) S = 奇 ，因为任何 >4 的偶数都可以表示成两个素数和（Goldbach Conjecture)。

(ii) S =< 53 , 若 S>53 , 则总可以写 S = 53 + (S - 53) .因此 P=53(S-53).
由于 m,n=< 99 ,所以 P 有可能会知道答案。

S 可能是 : 5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,51,53 .

S 也不可能是 2 + prime 得号码。所以结论

S : 11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53 (#)

孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。

S 的坼法里一定要符合 (2,S-2) ,(4,S-4) ,(8,S-8) ...(2^n ,S-2^n) 里最多只有一个 S-2^k 是 prime。

如此 P = 2^k * (S -2^k) . 看得出若 S-2^k 为 prime 则 P 的所有组合一定都是偶数偶数配，除了 2^k 和 S-2^k (一奇以偶）。而偶数偶数配的和必定是偶数，所以可以确定淘汰。因此只剩下一个可能性即是 2^k ,S-2^k .如此一来 P 就知道 (m,n) = (2^k , S-2^k)

经检验只有

S: 17 , 29 , 41 , 53 符合条件

EX : 23 = 4 + 19 = 8 + 15 + 16 + 7 发现到当中有两个组合有 prime ,故不可能。29 = 4+25 = 8+21 = 16+13 ，当中 prime 只出现在 16,13 的组合。

庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。

(i) 当 S = 53 .照理从前面的分析应该得到 (m,n)=(16,37) .不过发现到当 S = 53 = 45 + 8 时(即 (m,n)=(45,8))，P = 45 x 8 = 15 x 24 = 9 x 40

因为 15 + 24 = 39 ， 9 + 40 = 49 都不在 (#) 里，所以 P 可以淘汰掉他们，只剩下 45,8 .在这个情况下，P 依然才得到是 (m,n)=(8,45).与上面的 (m,n)=(16,37) 不吻合。表示 S=53时不可能知道什么号码。

(ii) 同样的 S = 41 应该是 (m,n)=(4,37) . 不过却出现 S = 25 + 16 . P = 25 x 16 (只有这个可能性 P 才可以知道 m,n) 得到 (m,n)=(16,25) .又出现不吻合现象。

(iii) S = 29 , (m,n)=(16,13) .不过也可能 S = 2 + 27 ==> P = 2x27 = 6x9 = 18x3 .而因为 6+9=15和18+3=21不在 (#) 里面，P 可以猜到 (m,n)=(2,27) .又是一个不吻合现象。

(iv) S = 17 , (m,n)=(4,13) . 经检验，他不会出现不吻合现象。故唯一解是 (m,n) = (4,13)

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 28-3-2006 08:25 PM 编辑 ]

kensai

好变态。。。。。
酱都可以算出来。。。

不过很多都不明白，什么 Goldbach Conjecture
还有 （ii)里，为什么一定要小过53？ 51 不可以吗？用什么原理作的？

dunwantell u , 你是在大学主修数学系的吗？还是你是数学老师？

hamilan911

原帖由 kensai 于 30-3-2006 08:18 PM 发表
好变态。。。。。
酱都可以算出来。。。

不过很多都不明白，什么 Goldbach Conjecture
还有 （ii)里，为什么一定要小过53？ 51 不可以吗？用什么原理作的？

dunwantell u , 你是在大学主修数学系的吗？还 ...

呵呵，我要帮他澄清一下，他现在只是中六生，和我同班的。。。

dunwan2tellu

Goldbach Conjecture 说 ： 任何 ＞２ 的偶数一定可以写成两个 prime 的和 。

为何 >53 不能？

Ex : Sum = 79 , P = ?

则  Sum 也可以写成 S = 53 + 26 . 如果真的是这种坼法，则 P = 53 x 26 .

如果、你得到 P , 你肯定可以猜到是 53 和 26 , 因为其他的组合方法都得到 >100 的号码 。 比如  53 x 26 = 106 x 13 = 689 x 2 .既然都知道是 2 到 99 之间，你就可以淘汰 (106,13) 和 (689,2) 的组合 ，从而猜到是 (53,26) 这两个号码。

xuan88

原帖由 hamilan911 于 30-3-2006 08:44 PM 发表

呵呵，我要帮他澄清一下，他现在只是中六生，和我同班的。。。

国 中 吗？ 还 是 独 中？ 日 新 独 中 吗？

真的需要很强的逻辑
答案是4,13?

kensai

搂住闪人了，哈哈～～～～～～

meemee

答案已经放上来了。。。空白那里的位置就有答案了。。。

kee020041

不好意识，最近忙着THESIS。 答案就是4和13.