思考一下

柏杨

试确定乘积

1*3*5*7*9*...*1999*2001

的十位数字和个位数字.

柏杨

再来一题

试确定

(1999^1998)+(1998^1999)

的末位数字.

dunwan2tellu

柏杨 于 26-5-2005 06:53 PM  说 :
再来一题

试确定

(1999^1998)+(1998^1999)

的末位数字.

设 u(x)  为  整 数 x 的 末 位 数 ，

u(1999^1998) + u(1998^1999)
=u(9^1998) + u(8^1999)
=u[9^(4*499+2)] +u[8^(4*499+3)]
=u(9^2) + u(8^3)
=1 + 2
=3

不 知  道  这 样 解 可 以 吗？

灰羊

柏杨 于 26-5-2005 18:46  说 :
试确定乘积

1*3*5*7*9*...*1999*2001

的十位数字和个位数字.

1*3*5*7*9*...*1999*2001的十位数字和个位数字
=(1*3*5*7*9)^200的十位数字和个位数字
=(945)^200的十位数字和个位数字
剩下的等mod高手來做吧

chiaweiwoo1

1*3*5*7≡1(mod8)
9*11*13*15≡1(mod8)
17*19*21*23≡1(mod8)
.......
1993*1995*1997*1999≡1(mod8)
2001≡1(mod8)
∴1*3*5*7....*2001≡1(mod8)
∵1*3*5*7....*2001≡0(mod125)
∴let 1*3*5*7....*2001=125k,
∴125k≡1(mod8)
625k≡5mod8)
k≡5(mod8)
let k=8n+5,
1*3*5*7....*2001=125k=125(8n+5)=1000n+625
所以1*3*5*7....*2001的十位数字和个位数字是2和5。

dunwan2tellu

小 弟 有 另一 个 方 法

用 a^40 =1(mod 100)      euler-totient theorem   ,  (a,100)=1

1x3x5x7x....x2001(mod100)
=(1x3x5x...x99)^20 (mod 100)
=(1x3x5x...x49)^40(mod 100)
=(5^6)^40(mod 100)
=(25^3)^40(mod 100)    <---- 25 的任何次方其末两位数都是25
=25

[ Last edited by dunwan2tellu on 23-6-2005 at 07:22 PM ]

柏杨

第 一 题答对了!
第 二 题继续试试吧

楼上两位的mod真利害,
有谁能用别的方法解答呢?

[ Last edited by 柏杨 on 13-6-2005 at 07:36 PM ]

dunwan2tellu

我 也 来 一 题 ：



[img][/img]

[ Last edited by dunwan2tellu on 1-6-2005 at 02:20 PM ]

柏杨

第一题的其中一个解答是

1×3×5的乘积是两位数15
15×7的末两位数是05
05×9的末两位数是45
45×11的末两位数是95
95×13的末两位数是35
35×15的末两位数是25
25×17的末两位数是25
25×19的末两位数是75
75×21的末两位数是75
75×23的末两位数又是25。。。

这说明，从15开始，所乘积的末两位数便是以25，25，75，75这四个数字不断重复出现，而1到13共有7个奇数，于是由（1001－7）/4＝248。。。2

可知乘积1×3×5×7×9×。。。×1999×2001的十位与个位数字是2和5。

这个方法不知道各位觉得怎样？

柏杨

高手解一下第二题吧

fritlizt

可是我被第二题解掉了。。。。
+_+
解法和dunwantt2tellu德一样/。。。

[ Last edited by fritlizt on 13-6-2005 at 09:42 PM ]

柏杨

对不起，小弟看错了dunwan2tellu的解法，其实是对的！
真对不起。。。

我发题只是想问问到底用“枚举”这一个方法是被接受的吗？

就如我刚贴的方法被接受吗？

hamilan911

其实第二题挺容易的，因为只关系到末位数吧了！
往末位数这方面想就能解了！
第一题解得很妙！

多普勒效应

dunwan2tellu 于 1-6-2005 02:18 PM  说 :
我 也 来 一 题 ：



[img][/img]

[ Last edited by dunwan2tellu on 1-6-2005 at 02:20 PM ]

柏杨

多普勒效应,euler theroem要怎样用啊？

小题

证明

n是整数
(i) 3 整除 (n^3) - n
(ii) 7 整除 (n^7) - n
(iii) 13 整除 (n^13) - n

[ Last edited by 柏杨 on 23-6-2005 at 06:56 PM ]

dunwan2tellu

柏杨 于 23-6-2005 06:54 PM  说 :
多普勒效应,euler theroem要怎样用啊？

小题

证明

n是整数
(i) 3 整除 (n^3) - n
(ii) 7 整除 (n^7) - n
(iii) 13 整除 (n^13) - n

[ Last edited by 柏杨 on 23-6-2005 at 06:56 PM ]

Euler totient theorem :   for all a relatively prime to n

p_1,p_2,p_3.....  是 n  的prime factor

(i) , (ii) , (iii)  都 符 合 euler totient theorem  因

(2,3)=1  得 n^2 = 1 ( mod 3)   ---> n^3=n ( mod 3)
同 理 得(ii) , (iii)

[ Last edited by dunwan2tellu on 23-6-2005 at 07:16 PM ]

柏杨

dunwan2tellu 于 23-6-2005 07:11 PM  说 :



Euler totient theorem :   for all a relatively prime to n

p_1,p_2,p_3.....  是 n  ...

我 知 质 有 点 差，有 点 不 明 白

请问 n 是 质 数 后，P_1 ,P_2 ,P_3 是 n 的 因 子？
(质 数 有 因 子？〕

[ Last edited by 柏杨 on 23-6-2005 at 08:57 PM ]

多普勒效应

当 p 是质数 , p 的因数就只有 1 和 p ..
所以,若 p 是prime,euler function(p) = p-1

当 n 是质数,欧拉定理(Euler Theorem) 就变成
费马小定理(Fermat Little Theorem)

[ Last edited by 多普勒效应 on 23-6-2005 at 09:13 PM ]

dunwan2tellu

柏杨 于 23-6-2005 08:55 PM  说 :


我 知 质 有 点 差，有 点 不 明 白

请问 n 是 质 数 后，P_1 ,P_2 ,P_3 是 n 的 因 子？
(质 数 有 因 子？〕

[ Last edited by 柏杨 on 23-6-2005 at 08:57 PM ]

n 并 非 质 数 ， n  是 任 何 自 然 数 。p_1,p_2 ....  是 n  的  质 数 因 子  简 称prime factor。

柏杨

明白了，多谢你们！