求教高三数学题。。

康骑士

已知双曲线x²/a²-y²/b²=1,的一弦的中点为 alpha,beta ,求证此方程式为y-beta = [b²(alpha)/(a²*beta)]*(x-alpha)

有谁可以教下我吗?

mathlim

已知双曲线 x²/a² - y²/b² = 1 的一弦的中点为 (α, β),
求证此方程式为 y - β = [(b²α)/(a²β)](x - α)。

证：
设过 (α, β) 的弦所在的直线方程式为 y - β = m(x - α)。
y = mx - mα + β
代入 b²x² - a²y² - a²b² = 0 得
b²x² - a²(m²x² + m²α² + β² - 2m²αx + 2mβx - 2αβm) - a²b² = 0
( b² - a²m² )x² + a²( 2m²α - 2mβ )x - a²m²α² - a²β² + 2a²αβm - a²b² = 0
由中点坐标公式：
α = ( x1 + x2 )/2 = - a²( 2m²α - 2mβ ) / 2( b² - a²m² )
α( b² - a²m² ) = - a²( m²α - mβ )
αb² - a²m²α = - a²m²α + a²mβ
m = b²α / a²β
∴ 所求方程式为 y - β = [(b²α)/(a²β)](x - α)。

mathlim

已知双曲线 x²/a² - y²/b² = 1 的一弦的中点为 (α, β),
求证此方程式为 y - β = [(b²α)/(a²β)](x - α)。

证：
设过 (α, β) 的弦所在的直线方程式为 y - β = m(x - α)。
弦的二端点为(x1, y1), (x2, y2)。
x1 + x2 = 2α, y1 + y2 = 2β
b²x1² - a²y1² = a²b²
b²x2² - a²y2² = a²b²
两式相减：
b²( x1² - x2² ) = a²( y1² - y2² )
m = (y1 - y2) / (x1- x2) = b²(x1 + x2) / a²(y1 + y2)
    = b²α / a²β
∴ 所求方程式为 y - β = [(b²α)/(a²β)](x - α)。

康骑士

谢谢啊~
下面的解法简单一点点。。。