数学训练～每日一题

pipi 30/08/2004，星期一
初中(A7) 设 a 为 x^2 + x + 1 = 0 的其中一个解。
求 1/(1-a) + 1/(1- a^2) 。 （待解）

因为a 为 x^2 + x + 1 = 0 的解，
所以a^2 + a + 1 = 0，
  即1 - a^2 = 2 + a ，
则1/(1-a) + 1/(1- a^2) = (2 + a)/(1 - a^2)
                       = 1

pipi 1/09/2004，星期三
初中(A9) 若 x < 0, x - 1/x = 1 。 求 x + 1/x 之值。 （待解）

x - 1/x = 1
(x - 1/x)^2 = 1
x^2 - 2 + 1/x^2 = 1       [展开]
x^2 + 2 + 1/x^2 = 5      [两边加4]
(x + 1/x)^2 = 5           [因式分解]
(x + 1/x) = ±sqrt(5)
因为x < 0,
所以(x + 1/x) = - sqrt(5)

pipi 2/09/2004，星期四
高中(B7) 若 (1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+...+(1001)(1001!) 除以 2004，求其余数。 （待解）

设
(i)         : (1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+...+(1001)(1001!)        
(ii)        :    (1!)  +  (2!)  +  (3!)  + ... + (1001!)               
(i) + (ii)  :  (2)(1!)+(3)(2!)+(4)(3!)+ ... +(1002)(1001!)
             =   (2!)  +  (3!)  + (4!) + ... + (1002!)     -----------(iii)
(i) = (iii) - (ii) = (1002!) - 1
因为(1002!) 可被2004整除，
所以(i)  除以 2004 的余数为2003！！！！！！！！


[ Last edited by sinchee on 6-9-2004 at 10:08 PM ]

pipi 4/09/2004，星期六
高中(B9) 若 (a+b)/(a-b) = (b+c)/(2(b-c)) = (c+a)/(3(c-a)),
求证： 8a + 9b + 5c = 0 （待解）

若 (a+b)/(a-b) = (b+c)/(2(b-c)) = (c+a)/(3(c-a)) = k
(i)       : (a+b) = k(a-b)
(ii)      : (b+c) = 2k(b-c)
(iii)     : (c+a) = 3k(c-a)
(i)+(ii)+(iii):a+b+c = -ka + (1/2)kb + (1/2)kc
(iv)-(i)  : c = -2ka + (3/2)kb +(1/2)kc
(iv)-(ii) : a = -ka - (3/2)kb + (5/2)kc
(iv)-(iii): b = 2ka + (1/2)kb - (5/2)kc
8a + 9b + 5c = 8[-ka - (3/2)kb + (5/2)kc]
                + 9[2ka + (1/2)kb - (5/2)kc]
                + 5[-2ka + (3/2)kb +(1/2)kc]
             = 0

pipi

sinchee 于 6-9-2004 06:30 PM  说 :

因为a 为 x^2 + x + 1 = 0 的解，
所以a^2 + a + 1 = 0，
  即1 - a^2 = 2 + a ，
则1/(1-a) + 1/(1- a^2) = (2 + a)/(1 - a^2)
                       = 1

sinchee 于 6-9-2004 07:02 PM  说 :

x - 1/x = 1
(x - 1/x)^2 = 1
x^2 - 2 + 1/x^2 = 1       [展开]
x^2 + 2 + 1/x^2 = 5      [两边加4]
(x + 1/x)^2 = 5           [因式分解]
(x + 1/x) = ±sqrt(5)
因为x < 0,
所以(x + 1/x ...

sinchee 于 6-9-2004 07:06 PM  说 :

设
(i)         : (1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+...+(1001)(1001!)        
(ii)        :    (1!)  +  (2!)  +  (3!)  + ... + (1001!)               
(i) + (ii)  :  (2)(1!)+(3)(2!)+(4)(3!)+ ... +(1002)( ...

sinchee 于 6-9-2004 07:10 PM  说 :

若 (a+b)/(a-b) = (b+c)/(2(b-c)) = (c+a)/(3(c-a)) = k
(i)       : (a+b) = k(a-b)
(ii)      : (b+c) = 2k(b-c)
(iii)     : (c+a) = 3k(c-a)
(i)+(ii)+(iii):a+b+c = -ka + (1/2)kb + (1/2)kc
(iv)-( ...

都对了啦！！又让你解完了啰！！！

7/09/2004，星期二
初中(A11) 试证：三个连续奇数的平方和 加上 1，不能被 24 整除.

pipi,这是我的解答：  
  (2x+1)^2+(2x+3)^2+(2x+5)^2+1
=(4x^2+4x+1 )+(4x^2+12x+9)+(4x^2+20x+25)+1
=12x^2+36x+36
=12(x^2+3x+3)

三个连续奇数的平方和 加上 1只能被12整除。

陈敏慧

8/09/2004，星期三
初中(A12) 把 10^4 - 4 计算出来的号码（即 10000 - 4 = 9996）的每个数字（即 9,9,9,6）加起来，可得 9+9+9+6=33。
          那么把 10^809 - 809 计算出来的号码的每个数字加起来又是多少呢？

首先，

10^1-1=9     ,          9
10^2-2=98    ,     9+8=17
10^3-3=997   ,   9+9+7=25
10^4-4=9996  , 9+9+9+6=33
.....

从这里我们可以看出他们是一组等差数列(arithmetic sequence)9,17,25,33,....到第809项。
首项 a=9,公差d=8

因此我们利用 Tn=a+(n-1)d 直接找第809项是什么数

所以，第809项的数目是   T(809)= 9+(809-1)*8=6473

因此， 10^809 - 809 计算出来的号码的每个数字加起来就是等於6473

恩，不知道对不对。

pipi

止战之殇 于 8-9-2004 11:04 AM  说 :
pipi,这是我的解答：  
  (2x+1)^2+(2x+3)^2+(2x+5)^2+1
=(4x^2+4x+1 )+(4x^2+12x+9)+(4x^2+20x+25)+1
=12x^2+36x+36
=12(x^2+3x+3)
三个连续奇数的平方和 加上 1只能被12整除。  

你的方法是对了，不过还不完整（仍然不能做出结论）！
例子： 我们不能说 12(x^2-1) 只能被12整除！因为当 x=3 时，12(x^2-1) 是能被24整除的！

[ Last edited by pipi on 8-9-2004 at 08:32 PM ]

pipi

陈敏慧 于 8-9-2004 01:27 PM  说 :
首先，

10^1-1=9     ,          9
10^2-2=98    ,     9+8=17
10^3-3=997   ,   9+9+7=25
10^4-4=9996  , 9+9+9+6=33
.....

从这里我们可以看出他们是一组等差数列(arithmetic sequence)9,17,25,33,....到第809项。
首项 a=9,公差d=8

这个结论不对！！
p/s: 当我们见到前面几项能符合某个猜测（hypothesis），最好能证明它，不然也许所做的猜测是错的！！
共勉之

陈敏慧

pipi 于 8-9-2004 01:44 PM  说 :

这个结论不对！！
p/s: 当我们见到前面几项能符合某个猜测（hypothesis），最好能证明它，不然也许所做的猜测是错的！！
共勉之

可是当10^x，x的数目大的时候，也只是看到 1*10^x，将之加起来就等於1。可是我想这可能吗？

pipi

我们要的是 10^n - n 啊！！

pipi 于 03-09-2004 13:30  说 :

你的方法是对了，不过还不完整（仍然不能做出结论）！
例子： 我们不能说 12(x^2-1) 只能被12整除！因为当 x=3 时，12(x^2-1) 是能被12整除的！

pipi,我不太明白你的例子。
以下的解释不知道对不对？
(x^2+3x+3)不能被２４整除。因为如果可以的话，那么(x^2+3x+3)也能被１２整除。所以
１２(x^2+3x+3)不能被２４整除。

ANNIE^_^LIM

8/09/2004，星期三
初中(A12) 把 10^4 - 4 计算出来的号码（即 10000 - 4 = 9996）的每个数字（即 9,9,9,6）加起来，可得 9+9+9+6=33。
          那么把 10^809 - 809 计算出来的号码的每个数字加起来又是多少呢？

----------------------------------------------------------------------
10^809 有 810個數字.
當10^809-809時只有809個數字。

10^809-809的前面是999999999....,806個9
而後面三個數字是191,因為：
1000-809=191

所以
9*806 + 1+9+1 = 7265

答案是7265




我不是初中的。。。

初中的，對不起了，搶了你們的飯碗。。。

[ Last edited by ANNIE^_^LIM on 8-9-2004 at 03:52 PM ]

陈敏慧

pipi 于 8-9-2004 02:53 PM  说 :
我们要的是 10^n - n 啊！！

恩，pipi，我想知道计算 10^n-n的每个号码再加起来是不是等於= (9*(n-1))+(10-n)


那么把 10^809 - 809 计算出来的号码的每个数字加起来应该是 (9*(809-1))+(10-809)=6482

pipi

止战之殇 于 8-9-2004 02:56 PM  说 :
pipi,我不太明白你的例子。

抱歉！！我之前要写的 24 ， 写成了 12 。（已经做了更改。。。）

以下的解释不知道对不对？
(x^2+3x+3)不能被２４整除。因为如果可以的话，那么(x^2+3x+3)也能被１２整除。所以
１２(x^2+3x+3)不能被２４整除。

这个解释不可行！！
例子：
4 不能被 24 整除。但是 12(4) 能被 24 整除。

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陈敏慧 于 8-9-2004 03:44 PM  说 :
恩，pipi，我想知道计算 10^n-n的每个号码再加起来是不是等於= (9*(n-1))+(10-n)

我的解答：10^n-n的每个号码再加起来不等於 (9*(n-1))+(10-n)
**********************************************************************************

ANNIE^_^LIM 于 8-9-2004 03:35 PM  说 :
10^809 有 810個數字.
當10^809-809時只有809個數字。
10^809-809的前面是999999999....,806個9
而後面三個數字是191,因為：
1000-809=191
所以
9*806 + 1+9+1 = 7265
答案是7265

就是这样简单！！

[ Last edited by pipi on 8-9-2004 at 08:46 PM ]

简雯83

10^809 -- 809
= (10^805)(10^4) -- 10^4 + 191
= 10^4(10^805 -- 1) + 191
= 1000(1000....0 -- 1) + 191 {1000...0 里面一共有805个0}
= 1000*999....9 + 191{9999...9 里面一共有805个9}
= 999..9000 + 191{9999...9000 里面一共有805个9}
= 999....9191{9999...9191 里面一共有805个9}

所以他的和是 805*9 + 9 + 1 + 9 + 1 = 7，265

chwk87

(2n-1)^2+(2n+1)^2+(2n+3)^2+1
=(4n^2-4n+1 )+(4n^2+4n+1)+(4n^2+12n+9)+1
=12n^2+12n+12
=12(n^2+n+1)

已 知 12不 可 被 24整 除 ， 不 管 n = 什 么 号 码 ， n^2+n+1 一 定 是 奇 数 。
所 以 12乘 以 奇 数 肯 定 不 可 以 被 24整 除。

chwk87 于 03-09-2004 01:51  说 :
(2n-1)^2+(2n+1)^2+(2n+3)^2+1
=(4n^2-4n+1 )+(4n^2+4n+1)+(4n^2+12n+9)+1
=12n^2+12n+12
=12(n^2+n+1)

已 知 12不 可 被 24整 除 ， 不 管 n = 什 么 号 码 ， n^2+n+1 一 定 是 奇 数 。
所 以 12乘 以 ...

你的意思是这样：
n = 2r : n^2+n+1 = (2r)^2 + 2r +1
                 = 4r^4 + 2r +1
                 = 2(2r^4 + r) + 1 是奇数

n = 2r + 1 : n^2+n+1 = (2r + 1)^2 + (2r + 1) + 1
                     = 4r^2 + 4r + 1 + 2r + 2
                     = 4r^2 + 6r + 3
                     = 2(2r^2 + 3r +1) +1 也是奇数
奇数不能被24 整除，所以12(n^2+n+1)不能被24整除。

pipi

简雯83 于 8-9-2004 10:43 PM  说 :
10^809 -- 809
= (10^805)(10^4) -- 10^4 + 191
= 10^4(10^805 -- 1) + 191
...
所以他的和是 805*9 + 9 + 1 + 9 + 1 = 7，265

注意： 10^809 -- 809 ≠(10^805)(10^4) -- 10^4 + 191
虽然你的答案还是对，不过中间的计算过程犯了两次错误！
（这是＂负负得正＂的例子？？（纯属开玩笑。。。））
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chwk87 于 9-9-2004 01:51 AM  说 :
(2n-1)^2+(2n+1)^2+(2n+3)^2+1
=(4n^2-4n+1 )+(4n^2+4n+1)+(4n^2+12n+9)+1
=12n^2+12n+12
=12(n^2+n+1)

已 知 12不 可 被 24整 除 ， 不 管 n = 什 么 号 码 ， n^2+n+1 一 定 是 奇 数 。
[dolor=red]所 以 12乘 以 奇 数 肯 定 不 可 以 被 24整 除。

就是这样！！
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止战之殇 于 9-9-2004 09:50 AM  说 :
奇数不能被24 整除，所以12(n^2+n+1)不能被24整除。

在这里，以上的 statement 是对的！
不过，就一般而言：
若 a 不能被 c 整除，b 不能被 c 整除,
不代表 ab 不能被 c 整除！
例子： a = 4, b = 6, c = 12

强

:sp::sp:嗨，我回来了

三点正

长针与短针相差90度

长针转360度，短针转15度。

长针转1度，短针转15/120度。

设长针转x度。
x=x（15/120）+90

x=90*120/105

所以重逢时间是３点又１7分8.57秒。。。

（不知道要不要整数的吗？？要的话，就不一样了）