数学训练（十一月份）

灰羊

12/11/2004,星期五
高中 (B38)
a,b 是 x^2 - (k-1)x + (k^2 + 3k +4)=0
的两根，k 是某些实数。
求 a^2 + b^2 的最大值。 （待解）
（答案：）
（解对者：）
========================================
x^2 - (k-1)x + (k^2 + 3k +4)=0
∵k是實數
∴判別式=(k - 1)^2 - 4(k^2 + 3k + 4)≧0
解得 -3≦k≦-5/3

a^2 + b^2 =(a+b)^2 - 2ab
          =(k-1)^2 - 2(k^2 + 3k +4)
          =-(k+4)^2 + 9 (過程不寫啦,配方法誰都會)
要讓a^2 + b^2最大=>讓|k+4|最小
∴k=-3時,a^2 + b^2有最大值8

羊按:不知道解得對不對
因為k=-3釋方程式有等根
而a^2+b^2≧2ab
應該a=b時,a^2+b^2有最小值...>"<

多普勒效应

灰羊 于 12-11-2004 08:57 AM  说 :


11/11/2004,星期四
高中 (B37)
f 和 g 是两个多项式（polynomial），且
f(x + g(y))=3x + y + 4
给所有实数x,y
求 g( 8 + f (3)) 之值。
（待解）
（答案：）
（解对者：）
======================= ...

设 x 是一个变数，具有下列形式的代数式
    a_n x^n +a_n-1 x^(n-1) + ... + a_0
叫做变数 x 的多项式。

参考 http://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html

灰羊

多普勒效应 于 12-11-2004 11:07  说 :


设 x 是一个变数，具有下列形式的代数式
    a_n x^n +a_n-1 x^(n-1) + ... + a_0
叫做变数 x 的多项式。

参考 http://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html

如果是這樣,那
f(x + g(y))=3x + y + 4
3x是(x + g(y))裡面的x出來的,
y是(x + g(y))裡面的g(y)出來的 對吧?

fritlizt

灰羊 于 12-11-2004 09:21 AM  说 :

a^2 + b^2 =(a+b)^2 - 2ab
          =(k-1)^2 - 2(k^2 + 3k +4)
          =-(k+4)^2 + 9 (過程不寫啦,配方法誰都會)
要讓a^2 + b^2最大=>讓|k+4|最小
∴k=-3時,a^2 + b^2有最大值8

a^2 + b^2 的最小值也不一定是当 a=b， a ,b 也可以是虚数。
问题没规定是实数。
不懂我对吗？？？


[ Last edited by fritlizt on 12-11-2004 at 12:40 PM ]

多普勒效应

a,b 是是实数好了！
灰羊解法对了！

试试星期四的吧！

[ Last edited by 多普勒效应 on 12-11-2004 at 01:03 PM ]

（1）若兩根a、b為任意數
a^2 + b^2 =(a+b)^2 - 2ab
          =(k-1)^2 - 2(k^2 + 3k +4)
          =-(k+4)^2 + 9 ≦9
故 a^2 + b^2 的最大值是9
（2）若兩根a、b為任意實數
∵兩根a、b為任意實數
∴判別式=(k - 1)^2 - 4(k^2 + 3k + 4)≧0
解得 -3≦k≦-5/3
又a^2 + b^2 =(a+b)^2 - 2ab
          =(k-1)^2 - 2(k^2 + 3k +4)
          =-(k+4)^2 + 9
則81/9≦(a^2 + b^2)≦8
故 a^2 + b^2 的最大值是8

灰羊

還是不太明白
既然是多項式怎麼沒有x^2之類的....

灰羊

430201 于 12-11-2004 13:49  说 :
（1）若兩根a、b為任意數
a^2 + b^2 =(a+b)^2 - 2ab
          =(k-1)^2 - 2(k^2 + 3k +4)
          =-(k+4)^2 + 9 ≦9
故 a^2 + b^2 的最大值是9
（2）若兩根a、b為任意實數
∵兩根a、b為任意實數
∴判別 ...

81/9≦(a^2 + b^2)≦8 <===應該是130/9≦(a^2 + b^2)≦8吧

灰羊

抱歉又是筆誤
謝謝灰羊先進

多普勒效应

厉害
以免大家星期六太闷:-P
小弟贴多一题数论题:

灰羊

flash 于 5-11-2004 14:04  说 :
数学训练 - 大专

今天是暂时接过 pipi 网友的棒子贴上大专的数学题目，在此谢谢多坛主的信任，希望各位网友多多的捧场。第一题就试试这个无数题吧 （没有数字资料的题目）：

大专 （C12）
一间工厂生产两种口味的糖果：草莓和香草。我们无法从糖果的表面判断糖果的口味。有关的糖果将会包装成包裹。每种包裹里的组合都可能不一样（可能整包都是草莓口味的糖果或是整包都是香草口味的糖果，或是一颗草莓其余香草等等）。假设每包糖果的数量都一样以及每种组合的机率都一样。

小明买了一包有关的糖果，尝了一颗发觉是草莓口味。如果现在小明取第二颗糖果（第一颗没放回去），请问第二颗糖果是草莓口味的机率是多少？

（答案：2/3)
（解对者：sinchee, 萧晨）



大专 （C13）

证明 　２≤(1 + 1/n)^n ＜３

如果 n 是任何 natural numbers.
（不懂有人贴过这问题没有，如有麻烦告诉我, 谢谢）


（解对者：灰羊, 萧晨）


由于长假的关系，所以原本应该周末才贴的题名今天就贴了上来。

大专 （C14）
这题须要有一些赌博的知识，希望不会教坏小孩。
五个赌徒分别坐在五个赌桌玩 poker （也叫 ＂派＂（pair））。如果五个人手上的牌分别是：

（A） A（黑桃）A（红心）A（方块）K（黑桃）K（红心）
（B） A（黑桃）A（红心）A（方块）Q（黑桃）Q（梅花）
（C） A（黑桃）A（红心）A（方块）Q（黑桃）Q（红心）
（D） A（黑桃）A（红心）A（方块）6（黑桃）６（梅花）
（E）A（黑桃）A（红心）A（方块）6（黑桃）６（梅花）

那谁赢的机会最大？（假设是用 52 张牌，没有 joker）

大专 （C15）

请算出
(cos x)^2 + (cos 2x)^2 + ... (cos nx)^2

是多少？

大家都沒注意到FLASH已經出了很多題目...
而且有的也解了
多普勒更新一下吧

eeCyang

15/11/2004,星期一
初中 (A37)
证明

（待解）
（答案：）
（解对者：）

(sinx)^10+(cosx)^10=[(sinx)^5+(cosx)^5]^2-2(sinx)^5(cosx)^5
                   =[(sinx)^5+(cosx)^5]^2-1/16(sin2x)^5
            
已知[(sinx)^5+(cosx)^5]^2>=0,当x为任何常数..
那么
(sinx)^10+(cosx)^10+1/16(sin2x)^5>=0

Aiyo...太久没做数学题了...请问该怎样继续呢???

我的学校开始考试了。。。
好辛苦
可能会有两个礼拜不能上来了。。
这段期间的练习
帮我留住哟
谢谢

原式＝｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜＋｜c－a－b｜
     ＝－(a－b－c)－(b－c－a)－(c－a－b)
    （∵a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b）
     ＝－a＋b＋c－b＋c＋a－c＋a＋b
     ＝a＋b＋c

梵谷

大专 （C14）
A赢的可能性最大

高中 (B39)


simplified (5r+2)/r(r+1)(r+2)
===>5r/r(r+1)(r+2) + 2/r(r+1)(r+2)
= 5/(r+1)(r+2) + 2/r(r+1)(r+2)----〉做法在下面
= 5[1/(r+1) - 1/(r+2)] + 2[1/r - 1/(r+1)] - [1/r - 1/(r+2)]
然后summation
=5{1/2-1/102} + 2{1/1-1/101} - {1/1+1/2-1/101-1/102}
=125/51 + 200/101 - 7625/5151
=15200/5151

(不知道有没有粗心，不过做法就是长。。。)





另外simplify 1/r(r+1)(r+2)
===>[1/r] [1/(r+1)(r+2)]
===>[1/r] [1/(r+1) - 1/(r+2)]
===>[1/r(r+1)] - [1/r(r+2)]
===>[1/r - 1/(r+1)] - [1/r - 1/(r+2)]/2

（1）a＝1，b＝1，c＝1～9
     a＝1，b＝2，c＝2～9
     ----------
     a＝1，b＝9，c＝9
     共：9＋8＋7＋…＋1＝45（個）
（2）a＝2，b＝2，c＝2～9
     a＝2，b＝3，c＝3～9
     ----------
     a＝2，b＝9，c＝9
     共：8＋7＋6－…＋1＝35（個）
-------------
（8）a＝8，b＝8，c＝8、9
     a＝8，b＝9，c＝9
     共：2＋1＝3（個）
（9）a＝9，b＝9，c＝9
     共：1（個）
合計＝45＋36＋28＋21＋15＋10＋6＋3＋1＝165（個）

設N的末二位數為B，其餘為A
則N＝100A＋B
   N^2＝10000A^2＋2×100A×B＋B^2－－－－－（1）
即B^2的末二位數為04
設B＝（ab），顯然b＝2或8
一)若b＝2
  B^2＝100a^2＋40a＋4
  得a＝0或5
  1)a＝0→B＝02，代入（1），得A的最小值為15，即N的最小值為1502
  2)a＝5→B＝52，代入（1），得A為分數，故無解。
二)若b＝8
  B^2＝100a^2＋160a＋64
  得a＝4或9
  1)a＝4→B＝84，代入（1），得A為分數，故無解。

430201 于 18-11-2004 22:50  说 :
設N的末二位數為B，其餘為A
則N＝100A＋B
   N^2＝10000A^2＋2×100A×B＋B^2－－－－－（1）
即B^2的末二位數為04
設B＝（ab），顯然b＝2或8
一)若b＝2
  B^2＝100a^2＋40a＋4
  得a＝0或5
  1)a＝0→B＝ ...

2)a＝9→B＝94，代入（1），得A為分數，故無解。