数学训练（十一月份）

多普勒效应 于 4-11-2004 22:58  说 :


对对！
不过，这个因式分解较难，
还有另一个方法！
希望有人贴上来 ^^

請壇主提供另一個方法
謝謝

多普勒效应

设 a=5，两边平方得 x^4 - 2ax^2 + x + a^2 - a = 0
a^2 - (2x^2 +1)a  + x^4 + x = 0
判别式 = (2x-1)^2
用公式法得 a1 = x^2 + x      , a2 = x^2 - x +1
接下来的就和解法（二）一样。

http://chinese.cari.com.my/myforum/viewthread.php?tid=183773

灰羊

多普勒效应 于 7-11-2004 05:43 PM  说 :
设 a=5，两边平方得 x^4 - 2ax^2 + x + a^2 - a = 0
a^2 - (2x^2 +1)a  + x^4 + x = 0
判别式 = (2x-1)^2
用公式法得 a1 = x^2 + x      , a2 = x^2 - x +1
接下来的就和解法（二）一样。

[url]http://chi ...

果然是好法!
以5為主元,x為次元
構成2次方程式

[ Last edited by 灰羊 on 8-11-2004 at 01:49 AM ]

flash

sinchee 于 6-11-2004 10:24  说 :

赞同！！！！

而且，

如果 n 是自然数，
那当然包括 １，
但是，当 n ＝１时，
(1 + 1/n)^n = 2，并不 ＞２。

灰羊 于 6-11-2004 10:09  说 :
灰羊于 5-11-2004 11:00 PM  说 :
... 第一題應改成
x,y,z 都是正数
第二題鷹改成
２≤(1 + 1/n)^n ＜３
另外..我第二題的證法可行嗎

对不起，应是 ２≤(1 + 1/n)^n ＜３。谢谢坛主帮我修改了。

萧晨 于 5-11-2004 22:32  说 :
大专 （C13）
证明 　２＜ (1 + 1/n)^n ＜３
如果 n 是任何 自然数。


说真的，如果给我解这一题的话
我一定毫不犹豫的用画图法
首先,(1 + 1/n)^n   and n is natural number
可以化为(1 + k)^(1/k) and ...

这一题，较希望网友们用 algebra 的方法解题。有一个超棒的解法，只须两行。

萧晨 于 7-11-2004 13:56  说 :



sinchee只是给了答案
我的解法对不对呀？

萧晨网友， 你的解法是对的；只是少了第一颗是要草莓机率的解法。

1、連CM、DM，
則∠CMD＝90度，且CM＝DM，∴∠MCN＝45度。
2、∵∠CMD＝90度，∠CED＝90度，
   ∴C、E、D、M四點共圓
   則∠CMN＝∠CDE＝60度
   故∠MND＝∠CMN＋∠MCN＝105度

初中 (A38)

x=2^(2/3) + 2^(1/3) +1

(2^(1/3)-1)x=(2^(1/3)-1)(2^(2/3) + 2^(1/3) +1)=1--------->(a-1)(aa+a+1)=a^3-1

(2^(1/3)-1)=1/x

2^(1/3)=1+1/x

左右三次方-->2=(1+1/x)^3

这就是答案

[ Last edited by 萧晨 on 9-11-2004 at 01:04 AM ]

大专 （C13）
证明 　２ =＜ (1 + 1/n)^n ＜３
如果 n 是任何 自然数。


说真的，如果给我解这一题的话
我一定毫不犹豫的用画图法
首先,(1 + 1/n)^n   and n is natural number
可以化为(1 + k)^(1/k) and  0<k<1
then draw 3 lines--->y=1+k
y=2^k
y=3^k
可以发现在0<k<1里面
y=2^k一直都在y=1+k之下---->很简单，不用画图出来也知道啦。。。(因为只有在k=0,k=1相交)
y=3^k一直都在y=1+k之上  （因为两个交点，一个是k=0,一个是k<0）
2^k=<1+k<3^k
===>2=<(1+k)^(1/k)<3   当0<k<1
===>2=<(1 + 1/n)^n<3   当n is natural number

(可以这样变换因为n is natural number 的range在0<k<1的domain里面)

当然，还是有其他的解法
证明(1+1/n)^n-2>=0,(1+1/n)^n-3<0


(1+1/n)^n-2
=[(1+n)/n]^n-2
=[(1+n)^n-2n^n]/(n^n)--------->分母先搁着一边，打字太麻烦了
=(1+n)^n-2n^n--->展开
=1+(nC1)(n)+(nC2)(n^2)+...+(nC(n-2))(n^(n-2))+(nC(n-1))(n^(n-1))+(nCn)(n^n))-2n^n
由于最后三项相加就是0-->(nC(n-1))(n^(n-1))+(nCn)(n^n))-2n^n=0
剩下的全部是正数
所以，(1+1/n)^n-2>=0
(1+1/n)^n>=2

然后就是证明(1+1/n)^n-3<0--->maximum=e<3
所以就解到了

另外一个解法y=(1+1/n)^n是一个monotonic increasing function(容易证明)
所以取最小n=1,y=2
取最大,用limit n-->无限,y=e
所以就解到了

总共有三个方法吧
可能会有更多

[ Last edited by 萧晨 on 9-11-2004 at 12:01 AM ]

灰羊

萧晨 于 8-11-2004 11:53 PM  说 :
初中 (A38)

x=2^(2/3) + 2^(1/2) +1

(2^(1/3)-1)x=(2^(1/3)-1)(2^(2/3) + 2^(1/2) +1)=1--------->(a-1)(aa+a+1)=a^3-1

(2^(1/3)-1)=1/x

2^(1/3)=1+1/x

左右三次方-->2=(1+1/x)^3

这就是 ...

x=2^(2/3) + 2^(1/2) +1
應該是
x=2^(2/3) + 2^(1/3) +1

oops typo error
谢谢你了。。

1＋1/x＝(x＋1)/x＝〔2^(2/3) + 2^(1/3) +1＋1〕/〔2^(2/3) + 2^(1/3) +1〕
＝1＋〔2^(1/3) －1〕（有理化分母，即分子、分母同乘以〔2^(1/3) －1〕）
＝2^(1/3)
故(1＋1/x)^3＝2

灰羊

都做完了很悶吧?
給你們玩玩看...

因式分解(x+y)^7-x^7-y^7
factoring (x+y)^7-x^7-y^7

1/4=(1-a)(1-b)(1-c)
11/24=a(1-b)(1-c)+b(1-c)(1-a)+c(1-a)(1-b)
1/4=ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)
1/24=abc
解a,b,c
solve a,b,c

fritlizt

多普勒效应 于 31-10-2004 10:07 PM  说 :
10/11/2004,星期三
初中 (A39)
ABCD是凸四边形，且AB=BC=AC=AD,
求角BDC之值。
（待解）
（答案：）
（解对者：）
( ...

AB=BC=AC=AD，
设 角DBC 为Y, 角BDC为X.


所以， ABC为等边三角形。 内角为60度。
这四条线有一样长，可以画成圆圈。
ACD为等腰三角形。
忘了什么THEOREM, 角DAC = 2*角DBC
: 角DAC = 2Y, 焦ACD为(180-2Y)/2 = 90-Y

角BDC + 角DCA + 角ACB + 角CBD = 180
X + 90 - Y +60 + Y = 180
X + 150 = 180
X = 30.

[ Last edited by fritlizt on 10-11-2004 at 01:44 AM ]

初中 (A39)
ABCD是凸四边形，且AB=BC=AC=AD,
求角BDC之值。


ABC等边三角形
ABD等腰三角形
所以可以花在一个圆圈里面
BCD在圆周
A是圆心
然后利用圆心角=2x圆周角
BAC角=2BDC角---〉以BC为底

然后就知道BDC角度是60/2=30度了

（对不起，不会用软件画图。。。）

∵AB＝AD
∴設∠ABD＝∠ADB＝a度，
則∠BAD＝(180－2a)度

∵AB＝BC＝CA
∴∠BAC＝60度
則∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝(120－2a)度

∵AC＝AD
則∠ADC＝(180－120＋2a)/2度＝(30＋a)度，

故∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝30度

flash

萧晨 于 6-11-2004 00:58  说 :
高中生的题目不是很难（适合我做）
大专的就。。有点难了。。难得才会一两题。。

多一些几率数学，统计学吧，
我顺便可以加强自己的能力。。。:-p

放心，不会令你失望。试试 C14 吧，在第一页。

灰羊

这四条线有一样长，可以画成圆圈。
===================================
其實有個名詞很適合====>共圓

fritlizt

flash 于 10-11-2004 11:27 AM  说 :


放心，不会令你失望。试试 C14 吧，在第一页。

pair怎么玩？
我不懂eh...可以教教一下吗？

这四条线有一样长，可以画成圆圈。
===================================
其實有個名詞很適合====>共圓

谢了，本来不懂的。


[ Last edited by fritlizt on 10-11-2004 at 06:24 PM ]

多普勒效应

灰羊 于 9-11-2004 08:28 PM  说 :

1/4=(1-a)(1-b)(1-c)
11/24=a(1-b)(1-c)+b(1-c)(1-a)+c(1-a)(1-b)
1/4=ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)
1/24=abc
解a, ...

设 a+b+c = p
     ab + bc + ac = q
展开 第1 , 2 , 3式，得
q-p=-17/24   --(4)
p-2q=11/24  --(5)
q=3/8            --(6)

把 (6) 代入 (4) 或 (5)
得 p=13/12

设等式 t^3 -pt^2 + qt -1/24 = 0 的三个根为 a,b,c
通分得 24t^3 - 26t^2 +9t -1 =0
分解得 (2t-1)(4t-1)(3t-1)=0
所以 {a,b,c}={1/2 , 1/4 , 1/3}

多普勒效应

怎么星期四没人解？？！！

灰羊

多普勒效应 于 12-11-2004 00:58  说 :
怎么星期四没人解？？！！

11/11/2004,星期四
高中 (B37)
f 和 g 是两个多项式（polynomial），且
f(x + g(y))=3x + y + 4
给所有实数x,y
求 g( 8 + f (3)) 之值。
（待解）
（答案：）
（解对者：）
==========================================

有個問題,多項式是指有多個變量的式子對吧?
ax+by+cz那種