数学训练～每日一题

eeCyang

若 x < -2，试简化 |1-|1+x||。

我也试试..
x < -2
1+x<-1
|1+x|=-(1+x),1+x<-1

1-[-(1+x)]=1+(1+x)
1+(1+x)<0 ,  (1+x<-1)

|1-|1+x||=-(1+1+x)=-2-x

那答案是不是-2-x??

fritlizt

eeCyang 于 29-9-2004 03:58 PM  说 :
若 x < -2，试简化 |1-|1+x||。

我也试试..
x < -2
1+x<-1
|1+x|=-(1+x),1+x<-1

1-[-(1+x)]=1+(1+x)
1+(1+x)<0 ,  (1+x<-1)

|1-|1+x||=-(1+1+x)=-2-x

那答案是不是-2-x?? ...

应该是对了。我也得到一样的答案。

pipi

敬请留意：
（明天）下个月起，＂数学训练＂将开个新贴！！
标题也是类似＂数学训练（十月份）＂。

26/9的题目:
ABCDE是正五边形。
把 E, A, B, C四点连接到    D点, CD = a, BD = b, AD = c, ED = d
ABCDE是正五边形，所以
AB = BC = CD = DE = EA = a
a = d (因为  ABCDE是等边五角形 )

角度ABC = 角度 BCD = 角度  CDE = 角度  DEA = 角度  EAB = (5-3)(180)/5 = 108度
b = c (因为角度   BCD = 角度 AED, CD = ED, BC = AE)

把ABCDE五点都连接到圆圈中心点          O,  
角度  AOB = 角度  BOC =  角度  COD = 角度  DOE = 角度  EOA = 360/5 = 72度

d^2 = 1^2 + 1^2 – 2(1)(1)cos72
       = 2 – 2cos72

c^2 = d^2 + d^2 – 2(d)(d)cos108
       = 2d^2[1 – cos108]
       = 2[2 – 2cos72][1 – cos108]

abcd = (bc)(ad)
        = (c^2)(d^2) (因为  b = c, a = d)
        = 2[2 – 2cos72][1 – cos108] [2 – 2cos72]
        = 2[(2 – 2cos72)^2] [1 – cos108]
        = 5

eeCyang

止战之殇 于 30-9-2004 11:07 AM  说 :
26/9的题目:
ABCDE是正五边形。
把 E, A, B, C四点连接到    D点, CD = a, BD = b, AD = c, ED = d
ABCDE是正五边形，所以
AB = BC = CD = DE = EA = a
a = d (因为  ABCDE是等边五角形 )

角度ABC = 角度 ...

哇!!!!  止战之殇
好厉害哟！..   
你真行...
以后请多多指教...

fritlizt

26/09/2004，星期日
大专(C6) 如下图，在单位圆（即半径为 1）的圆周上取 5 个点。
         （将这5点连起来，可形成正五边形）
         现在，5 点中任选 1 点，将此点接连其余 4 点，得四个线段.
         设这四个线段的长度分别为 a,b,c,d。
         求证： abcd = 5
           （待解）

某年某月某日， 情风及sinchee 证明了 cos72 = {sqrt(5)-1}/4
                                    cos 144 = -{sqrt(5)+1}/4

a^2 =1^2+1^2-2(1)(1)cos72
  =2-{sqrt(5)-1}/2
  ={5-sqrt(5)}/2

b^2 = 1^2+1^2-2(1)(1)cos144
  = 2+{sqrt(5)+1}/2
  ={5+sqrt(5)}/2

c = b
d = a

abcd = a^2*b^2
     = {5-sqrt(5)}/2 * {5+sqrt(5)}/2
     = {5+sqrt(5)}{5-sqrt(5)} /4
     = 20/4
     = 5

eeCyang

30/09/2004，星期四
高中(B16)
      

fritlizt

[quote] eeCyang 于 30-9-2004 04:49 PM  说 :
30/09/2004，星期四
高中(B16)
      

[quote] eeCyang 于 03-09-2004 16:49  说 :
30/09/2004，星期四
高中(B16)
      

eeCyang

止战之殇 于 1-10-2004 09:43 AM  说 :


經過你的簡化後﹐就很容易做了。
设x^p=a,x^q=b,x^r=c.
得abc=1 ==> ab = 1/c , bc = 1/a , b = 1/ac
1/(1+x^p+1/[x^q]) + 1/(1+x^q+[1/x^r]) + 1/(1+x^r+[1/x^p])
= 1/(1+a+[1/b]) + 1/(1+b+[1/ ...

其实还有更简单的作法的吧....
不知道还有没有呢???

pipi

止战之殇 于 30-9-2004 11:07 AM  说 :
ABCDE是正五边形，所以
AB = BC = CD = DE = EA = a
a = d (因为  ABCDE是等边五角形 )

...

abcd = (bc)(ad)
        = (c^2)(d^2) (因为  b = c, a = d)
        = 2[2 – 2cos72][1 – cos108] [2 – 2cos72]
        = 2[(2 – 2cos72)^2] [1 – cos108]
        = 5

方法正确！
不过能不能 不用计算机，而得出答案？？
（记得喔，计算机会有偏差，而且可能给你错误的答案！！
请参考：
pipi 的"分享：计算机的不稳定性"
http://chinese.cari.com.my/myfor ... ge=1&highlight=）

fritlizt 于 30-9-2004 04:08 PM  说 :
某年某月某日， 情风及sinchee 证明了 cos72 = {sqrt(5)-1}/4
                                    cos 144 = -{sqrt(5)+1}/4

这个证明可以在
pipi 的＂问题：三角函数＂
http://chinese.cari.com.my/myfor ... =131365&fpage=3
找到。。。

pipi

止战之殇 于 1-10-2004 09:43 AM  说 :
經過你的簡化後﹐就很容易做了。
...
看起來很像13/9的題目。

没错！！

eeCyang 于 1-10-2004 12:56 PM  说 :
其实还有更简单的作法的吧....
不知道还有没有呢???

这个算不算？？

pipi

剩下最后一题：

19/09/2004，星期日
大专(C5) 某个醉汉目前在位置 "5"，他的家在位置 "8"，而位置 "0" 则是断崖。
          由于他分不清方向，设他每次移动一单位，且只走向左或向右，而每次向左或向右的机率皆为 1/2。
          若到位置 "8"，则家人迎接他（安全抵达）。
          若到位置 "0", 则跌入断崖。。。（无法继续行程）
          求此醉汉安全回到家的机率。
          （待解）

来吧！！朋友！！

pipi 19/09/2004，星期日
大专(C5) 某个醉汉目前在位置 "5"，他的家在位置 "8"，而位置 "0" 则是断崖。
由于他分不清方向，设他每次移动一单位，且只走向左或向右，而每次向左或向右的机率皆为 1/2。
          若到位置 "8"，则家人迎接他（安全抵达）。
          若到位置 "0", 则跌入断崖。。。（无法继续行程）
          求此醉汉安全回到家的机率。
          [img] http://img.photobucket.com/albums/v156/chanlye/C5.jpg[/img]（待解）

設 0 為斷崖的位置﹐ P(k,n) 為從 k 安全 n 到的概率。
則 P(1,2) = 1/2
    P(2,3) = 1/2 + 1/2[P(1,2)][P(2,3)]
=>  P(2,3) = 2/3
    P(3,4) = 1/2 + 1/2[P(2,3)][P(3,4)]
=>  P(3,4) = 3/4
    P(4,5) = 1/2 + 1/2[P(3,4)][P(4,5)]
=>  P(4,5) = 4/5
    P(5,6) = 1/2 + 1/2[P(4,5)][P(5,6)]
=>  P(5,6) = 5/6
    P(6,7) = 1/2 + 1/2[P(5,6)][P(6,7)]
=>  P(6,7) = 6/7
    P(7,8) = 1/2 + 1/2[P(6,7)][P(7,8)]
=>  P(7,8) = 7/8
因此﹐P(5,8) = [P(5,6)] [P(6,7)] [P(7,8)]
             = 5/8


[ Last edited by sinchee on 1-10-2004 at 10:57 PM ]

比較Genaral的case :
用數學歸納法﹐
證明﹕P(n-1,n) = (n-1)/n
P(1,2) = 1/2
設 P(k-1,k) = (k-1)/k,
則  P(k,k+1) = 1/2 + 1/2 [P(k-1,k)] [P(k,k+1)]
=>  P(k,k+1) = k/(k+1)
因此﹐ P(n-1,n) = (n-1)/n  (得証)

故 P(k,n) = [P(k,k+1)][P(k+1,k+2)]…[P(n-1,n)]
          = [k/(k+1)][(k+1)/(k+2)]…[(n-1)/n]
          = k/n
                    

pipi

以下是鸟哥（斷羽鳥）的做法：
（对于不熟悉他的人，请看他的＂鸟哥讲古！＂
http://chinese.cari.com.my/myfor ... =103097&fpage=1
你就晓得他的用心了。。。介绍完毕！！）

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

                         t + 1
            0   1   2   3   4   5   6   7   8
            ---------------------------------
       0 |  1   
       1 | .5      .5     
       2 |     .5      .5
       3 |         .5     .5
       4 |             .5      .5
   t   5 |                .5       .5
       6 |                     .5      .5
       7 |                         .5      .5
       8 |                                  1

這基本上是一個Random Markov Chains. 我們可把醉漢的步伐用上面的 transition probability matrix 來代表. 那有兩的absorbing state … 就是 8 和 0 嘛!

如果說 ui = Pr( X(t =T) = 8 | X(t = 0) = i), 那麽我要找的就是 u5 咯! 可用Markov Chain Theory 裏的 First Step Analysis 來解!.  

u0 = 0 (永遠到不了傢咯) ;  u8 = 1 咯! 對吧! 接下來我們有.
u1 = 0.5*u0 + 0.5*u2 = 0.5*u2
u2 = 0.5*u1 + 0.5*u3
u3 = 0.5*u2 + 0.5*u4
u4 = 0.5*u3 + 0.5*u5
u5 = 0.5*u4 + 0.5*u6
u6 = 0.5*u5 + 0.5*u7
u7 = 0.5*u6 + 0.5*u8 = 0.5*u6 + 0.5

Solve the equations system => u5 = 5/8 … 對嗎?

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