大专难题(三角函数不等式）

dunwan2tellu

若 0 < x < Pi/2 , 求证

tan(sin x) > sin(tan x)


我用 mathematica 来 check ,发现到 0 < x < Pi 时也成立。
不知道大家有何意见？

比较容易的是证明 Cos(Sin x) > Sin(Cos x)  , x > 0

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 25-7-2006 11:33 PM 编辑 ]

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可能是考虑到 tan(Pi/2) 是 undefined.虽说 -1< sin x <1.

dunwan2tellu

目前我知道的事，如果  sin x > Pi/4 , 那么

tan(sin x) > 1 > sin(tan x)

所以我们只需要考虑 sin x =< Pi/4 的情况时 tan(sin x) > sin (tan x) 如何证明（这我就没有头绪）

如果用微积分的话，设
f(x) = tan(sin x) - sin(tan x)
f'(x) = (sec(sin x))^2 * cos x - cos(tan x) * (sec x)^2

所以只要证明 f'(x) > 0 , f(0) = 0 就可以得到 f(x) > 0
但是 f'(x) > 0 好像更复杂　．．．．

dunwan2tellu

要证明 f'(x)>0 , 也等于证明

(cos x)^3 >= cos(tan x) * (cos (sin x))^2 , 范围是 sin x =< pi/4

设 g(x) = ln (cos x) ，则 g''(x) = -(sec x)^2 =< 0
所以 g(x) is concave .
由于 sin x =< pi/4 ==> tan x < pi/2 (否则如果 tan x >= pi/2 那么 cos x=<1/2 => (sin x)^2 + (cos x)^2 =< pi^2/16 + 1/4 < 1 ,不可能。）表示 sin x >= 0 , tan x >= 0

所以从 Jensen inequality ,
g(tan x) + g(sin x) + g(sin x) =< 3g((tan x+2sin x)/3)
而且也不难证明 tan x + 2sin x >= x , for  0 =< x < Arctan[pi/2]
(因为 h(x)=tan x+2sin x-3x 的话，h'(x)=(sec x)^2 + 2cos x - 3 = 1/(cosx)^2 + cos x + cos x - 3 >= 3 - 3 >= 0 (by am-gm) .h(0) = 0 ==> h(x) >= 0 )

=> cos(tan x) * (cos(sin x))^2 =< cos^3 ((tan x+2sin x)/3) =< cos^3 x

证毕．