Vector问题

lavendar_o5

大家好，小弟今年念STPM,但对Vector的观念并不很了解（尤其是应用题），还望各位多多指导，以下是题目及问题。

A boat X sail with a speed of 40 km / h in the direction N 30 W. At a particular time, another boat Y, that sails with a speed of 30 km / h in the direction N 60 W, is at a position 6 km north of X.

(a) If the boat X maintains its speed and direction, calculate the relative velocity of X to that of Y, and calculate also the shortest distance between X and Y.

(b) If the boat X maintains its speed but changes its direction, find the direction which X needs to follow and the time taken for X to overtake Y.

以下是小弟做的:

(a)





(b) 不会做

问题:

1) 什么是Relative Velocity of X to Y ? 我看书，它说是从Y看X的移动。但，从图上来说，我发觉X及Y都偏向西方，为什么Relative Velocity是偏向东方呢？

2) 为什么最近距离是Y0X1 ? X和Y都在“跑”着，为什么能用Relative Velocity得知呢？你可能会问，你自己这么做，你自己不知道？我只能说我“模仿”书中所教的，实际上并不明白。

谢谢大家的帮忙

dunwan2tellu

问题:

1) 什么是Relative Velocity of X to Y ? 我看书，它说是从Y看X的移动。但，从图上来说，我发觉X及Y都偏向西方，为什么Relative Velocity是偏向东方呢？

2) 为什么最近距离是Y0X1 ? X和Y都在“跑”着，为什么能用Relative Velocity得知呢？你可能会问，你自己这么做，你自己不知道？我只能说我“模仿”书中所教的，实际上并不明白。

1)relative velocity of X to Y = 相对于 Y 来看　X　的速度．如果两辆车以同样的速度平行走，那么撤离的人互相看对方的话就好像双方都处于静止状态。

relative velocity 用处在于把一个物体静止，然后观看另一个物体如何移动。
虽然他们俩都向西，但是当你坐在 y 里看 x 时，就好像 x 向东北方向走。

2）当你用“relative velocity "时，一个物体已经“停止”。一个物体正在“走着”。所以在“这个情况下”你可以当 y 不动，x 却在移动。所以 x 要走到哪里时,他们的距离最短？当然是垂直时候，因为从一个“点”到一个“线”的最短距离就是 perpendicular line from the point to the line .

b)通常遇到 overtake 类型的，都是先找他们 meet 到的地方。如果他们一 meet 到，那么过后 x 就会 overtake Y . 所以你再画一个 diagram .Y 照样，但是 x 的角度不知道。 x 的 starting position 是 origin .Y 是 6km above . 将 x 的 vector 接到 y 的另一端（除了在 origin 的地方）。那么你就有一个 triangle .之后 solve 那个 triangle 就 ok

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 5-6-2006 11:52 AM 编辑 ]

lavendar_o5

非常谢谢你的解答。
这是我从朋友那里得来的解答:



我所不明白的是：之前在(a)里，YX是朝向东北方的，为什么做Overtake题目时，它变成朝向"北"方了呢？

dunwan2tellu

因为 x 改变方向了嘛！所以 relative velocity 也里所当然的跟着改变！

还有，你的 solution 太小，看不到。

lavendar_o5

已经把图片放大。它的题目并没有说一定是朝向北方，为什么把它当作是朝北方呢？

dunwan2tellu

原帖由 lavendar_o5 于 6-6-2006 06:16 PM 发表
已经把图片放大。它的题目并没有说一定是朝向北方，为什么把它当作是朝北方呢？

你是说第2题的？

朝北方的那个是 "resultance vector" ,并不是 “x 朝北方”。

你是说哪一个图片放大呢？怎么都没差？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 7-6-2006 08:15 AM 编辑 ]

lavendar_o5

最后一个图放大了。
从(a)的图来看，可以发现YX是朝东北。
但从最后一个图来看，YX却是朝北方的。。
这也就是我不明白之处。

dunwan2tellu

原帖由 lavendar_o5 于 7-6-2006 06:04 PM 发表
最后一个图放大了。
从(a)的图来看，可以发现YX是朝东北。
但从最后一个图来看，YX却是朝北方的。。
这也就是我不明白之处。

Y 是在 X 的上面（Y is at 6km north of X) .所以那个图形画错了。应该是 XY 朝北，并非 YX 朝北。

现在题目要 X overtake Y 。如果我们看一看 part (a) 的例子，你会发现，如果 Y 不动，那么从图形来看 X 就是朝东北走。但是对于 Y 来说，一开始 X 和他距离 6km .之后局里慢慢缩小，小到 4.1 km 左右（就是你在part a 找的答案）。然后距离又会慢慢变大，然后越离越远。结论是什么？结论是 X 只是从旁边过 Y (好像斜着过 Y ) ,而不是 overtake  Y .

那么究竟要如何才算 overtake ? vector 来说，overtake 就是两个物体要先 meet 在一个地方，然后其中一个便超越另一个才算 overtake .

从这句话有何启示？表示如果 Y 不动的话，那么 Y 看 X 时，是要先从 6km 的距离，慢慢变小到 零距离（表示他们 meet ）然后距离又再次慢慢变大。

所以你必须要为 X 找一个方向，使到他们的  shortest distance “ 可以 = 0 ” 。唯一能如此作的，只有当 resultance vector 是慢慢靠近 Y 的方向，否则如果 resultance vector 的方向不是走向 Y 的话，何来 X 跟 Y meet ? 对不对？

既然 Y 是在 X 的正上方，那么 resultance vector 自然要向北 。X 才能去 meet Y ,然后 overtake Y !

说那么多，口也有点干。希望这次你能明白。哈哈

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 7-6-2006 11:18 PM 编辑 ]

lavendar_o5

真的非常谢谢您的回答！！！
另外还有一个问题：
请问Velocity的 3i + 4j 及 displacement的 3i + 4j，方向是否一样？
如果一样，那(a)图的5.98i + 19.64j (也就是20.53 km/h那条线）的方向为什么是43.05呢？ (我用dot product得到的角度是16.xx罢了。。。)

dunwan2tellu

原帖由 lavendar_o5 于 8-6-2006 11:37 PM 发表
真的非常谢谢您的回答！！！
另外还有一个问题：
请问Velocity的 3i + 4j 及 displacement的 3i + 4j，方向是否一样？
如果一样，那(a)图的5.98i + 19.64j (也就是20.53 km/h那条线）的方向为什么是43.05呢？  ...

velocity 的 vector 和 displacement 的 vector 是不一样的。

displacement ，顾名思义就是“座位”，所以必须要明确知道在“哪一个地方”。所以 3i+4j 就告诉你那个物体在 (3,4) 的 coordinate 的地方。

velocity 就不然，你只需要知道“方向驶向哪里”，不需要知道那物体在“哪个地方”。这里 3i+4j 只告诉你那个物体朝东北方向（当然不是完全东北）前进罢了！不过那个物体在什么地方，你就不知道了。

dunwan2tellu

原帖由 lavendar_o5 于 8-6-2006 11:37 PM 发表
真的非常谢谢您的回答！！！
另外还有一个问题：
请问Velocity的 3i + 4j 及 displacement的 3i + 4j，方向是否一样？
如果一样，那(a)图的5.98i + 19.64j (也就是20.53 km/h那条线）的方向为什么是43.05呢？  ...

经你那么一提，我也奇怪你的 43.05 从哪里来？

照理来说应该是 16.94 度.....

lavendar_o5

其实这是我朋友书里的Example，只不过我用我自己的方法做罢了。Anyway,这是它的答案，照它的方法算，还真的是43.05度，还是它某计算有错？



[ 本帖最后由 lavendar_o5 于 9-6-2006 10:09 AM 编辑 ]

dunwan2tellu

我知道问题出在那里了！

当你用 sine rule 时，是否记得有一个特别状况？那就是可能有两个答案。

当 sin OYX = 0.9742 时， OYX = 76.96 OR 103.04

所以你不能用 sine rule . 必须用 cosine rule 来找角度。

From cosine rule ,

OX^2 = OY^2 + XY^2 - 2(XY)(OY) cos OYX

==> cos OYX = (30^2 + 20.53^2 - 40^2)/ 2(30)(20.53) = -0.2261
==> < OYX = 103.1 度  ( 用 cosine rule 就可以避免两幅答案的情况）

所以你的书的答案有错。

对了，请问你的 vector diagram 使用什么 program 画的？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 9-6-2006 05:26 PM 编辑 ]

lavendar_o5

那。。证明书本的做法是错了。
当我用COSINE　RULE时，解得: cos x = -0.226044624
x = 103.0643135 (也就是对的答案）

但我想问的是: Cosine Rule也有可能有两种答案:
当cos x = -0.226044624时，x = 103.0643135 或 x = 256.9356866
我知道，256.9356866是不可能的答案。
为什么就一定要用COSINE Rule，而不能用Sine Rule呢？(不管是SIN或COSINE，都有两种答案...尤其在考试时，我怎么知道我用Sin Rule找出来的答案是错的？)

另外，再次谢谢你这么多次的帮忙，使得我非常顺利的完成了其他的题目。

*(通常我是用PHOTOSHOP画的)

[ 本帖最后由 lavendar_o5 于 9-6-2006 06:03 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 lavendar_o5 于 9-6-2006 05:56 PM 发表
那。。证明书本的做法是错了。
当我用COSINE　RULE时，解得: cos x = -0.226044624
x = 103.0643135 (也就是对的答案）

但我想问的是: Cosine Rule也有可能有两种答案:
当cos x = -0.226044624时，x = 103 ...

如果遇到题目给的是

SAS （Side Angle Side)/SSS(side side side) 那么就 cosine rule

其他的就用 sine rule .

不过有特别情况 SSA (side side angle) , 这里可能会出现两幅答案。那时你就必须自己判断了（好比用三角形内角和 = 180 的特征 )

Cosine Rule 肯定不会出现两幅答案！因为 cos x 〉0 when 0 < x < 90 ; cos x < 0 when 90 < x < 180 in a triangle .

Sine rule : sin x > 0 when 0 < x < 180 . 所以才会出现两幅答案

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 9-6-2006 06:18 PM 编辑 ]

lavendar_o5

非常谢谢您的解答。~~

lavendar_o5

这里再问两题:

第一道题: (不会做）

Two forces P1 and P2 act in the same plane at an angle of 120 degree between them. The resultant force has a magnitude F and acts in a direction inclined at angle 30 degree to the force of magnitude P1. Evaluate the expression P1 / P2.

If P2 = P, determine F / P


第二道题:
2 coplanar forces of magnitudes p N and 6 N act along the lines OA and OB respectively. If AOB = 150 and the resultant of these 2 forces has a magnitude 3 N, calculate the value of p and determine the angle between the resultant force and the line OB.

(这题我可以做到，但我用的方法是: Let p = xi + yj, 6 = mi + nj，演算很长，请问有其他方法吗？)

dunwan2tellu

1） 画 P1 to east , P2 to N 30 W 。之后画三角形，就会看到一个 right angle triangle 30度，60度，90度 的。所以 P2/P1 = cos 60 ==> P1/P2 = 2
F/P = F/P2 = tan 60 ...

2) Draw a line AC parallel to OB ( |AC| = |OB| = 6N ) , then < CAO = 180-150= 30

resultance force = OC = 3N , 所以用 cosine law

OC^2 = OA^2 + AC^2 - 2(OA)(AC) cos 30  

你就会得到一个 quadratic equation in term of  “p”。之后运用你的经验就会看到其中一个答案不可能，所以你就会得到唯一的答案。

之后要找 angle ,我相信你应该没问题了

lavendar_o5

...
我还真的是笨。。。这两题是非常简单的，只要将线“移”走就可以解了。。
谢谢你的解答，两题都顺利完成了。