几何题目

dunwan2tellu

决定开一个几何题目贴来锻炼几何题...

几何不等式题目：

(i)四边形ABCD中，角CBD < 角ＡＢＤ，　叫ＣＤＢ＜角　ＡＤＢ　，
证明　ＢＣ＋ＣＤ＜　ＡＢ＋ＡＤ

dunwan2tellu

Einstein 曾经说过，不会几何的人，在科学研究领域不会有太大的作为。因为做几何题需要观察力，研究科学也需要观察力！

这里有几个常用的 Identity

ABC 为三角形，边长为 a,b,c 。内切圆(incircle)半径 = r ,外切圆(circumcircle)半径 = R ,面积 = S , 半周长(semiperimeter) = p ,




(i)a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
(ii) p = (a+b+c)/2
(iii) S = 1/2 * ab *sin C ...
      S = pr
      S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)  <---Heron formula
(iv) abc = 4RS

试证明：

p^2 + r^2 + 4Rr = ab + ac + bc

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 7-4-2006 05:38 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

要学trigo，必须必备几个基本的恒等式

若 A,B,C 为三角形 ABC 的内角，则

(i) cos A/2 = sqrt{ p(p-a)/bc }

(ii) sin A/2 = sqrt{(p-b)(b-c)/bc}

(iii)tan A/2 = sqrt{(p-b)(p-c)/p(p-a)} = r/(p-a)

(iv) Sum sin A=4cosA/2*cosB/2*cosC/2

(v)Sum sin2A = 4sinA*sinB*sinC

(vi)Sum cosA=1+4sinA/2*sinB/2*sinC/2

(vii)Sum cos2A=-1-4cosA*cosB*cosC

(viii)Sum (cosA)^2 = 1 - 2cosA*cosB*cosC

(ix)Sum (sinA)^2 = 2 + 2cosA*cosB*cosC

(x)Sum tanA = tanA*tanB*tanC

(xi)Sum cotA*cotB = 1

(xii)Sum cotA/2 = cotA/2*cotB/2*cotC/2

附加：

a) sin x + sin y + sin z - sin(x+y+z) = 4sin{(x+y)/2}*sin{(x+z)/2}*sin{(y+z)/2}

b)cos x+ cos y+ cos z - cos(x+y+z)=4cos{(x+y)/2}*cos{(x+z)/2}*cos{(y+z)/2}

那些有兴趣证明这些 identity 的朋友，随时欢迎！

kjying

请教教我...=.=
我看都不懂..=.=

晴天82

为什么我没学过SUM的。。。
什么是SUM。

dunwan2tellu

sum 是 和的意思。

Ex : Sum sinA = sin A + sin B + sin C

我只是些缩写而以...

dunwan2tellu

补充：

r_a , r_b , r_c 为三角形 ABC 的 exradii,则

(i)r_a + r_b + r_c = 4Rr + r

(ii)r_a x r_b + r_a x r_c + r_b x r_c = p^2

(iii)r x r_a x r_b x r_c = S^2

R = circumradius , r = inradius , p = semiperimeter , S = area ABC



[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 7-4-2006 05:39 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

几何求角度题：

ABCD 是正方形。 E 是 ABCD 内的一点， F 是 ABCD 外的一点，使到 三角形 ABE 和 CBF 全等(congruent)。若 EF = AB , <BFD = 90 , 求  <EBA = ?

提示：想办法先证明三角形 BEF 是等腰直角三角形 。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 6-5-2006 05:50 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

是否网友都不喜欢几何呢？怎么没人来回贴的....

又一题几何证明题！

ABCD 是正方形。 E 在 BD 上。若 P , Q 分别是 三角形 ABE 和 ADE 的外围圆心(circumcenter) , 求证 APEQ 也是 正方形。



[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 6-5-2006 05:54 PM 编辑 ]