Expected Value

dunwan2tellu

(i)假设你被困在一个迷宫。迷宫内有四条路。第一，二，三条路都会带你回到原来的地方。而你分别所需要用来走完这三条路的时间是5小时，6小时,9小时。只有第四条路是真正的出路，而你所需要走这路的时间是8小时。如果这迷宫是黑暗的，你无法正确分辨哪条是真正的出路，请问若你不断的尝试走出这迷宫，你困在迷宫里(直到你走出为止。当然，你不会在半途休息的。)的expected value of time 是多少? (若你选错路，回到原点后，不保证你不会再选回相同的路，因为你根本都看不到)

(ii)这时候你遇到一个神灯(就像阿拉丁里的神灯),它可以帮你的忙。它给你三个选择

A : 将第三和第四条路都变成出路(既8小时和9小时的那两条路),但是迷宫里照样是黑暗的。

B : 将迷宫照亮，不过出路依然只有一条。

C : 将第四条路(9小时的)关闭，其他的照旧，迷宫还是黑暗的。

请问你会选哪个呢？讲出理由。(就算你看得到，你还是无法得知哪条路才是正确的出路，因为那四条路并没有路牌，哈哈!)。务必记得一样东西，你的目的是尽快逃出迷宫。
Hints : 第(ii)题是比较两种方法的expected value

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 15-10-2005 11:41 AM 编辑 ]

kee020041

不大明白问题！ 但是大概大概吧。。。
（I）时间是：8，5+8，6+8，9+8，5+5+8，5+6+8，6+6+8，.......


到底答案是怎样？
问题是在什么数学类？
概率？

铁蛋

首先我们可以找出逃离时间的分布.

P(T=8) = 1/4
P(T=13,14,17) = 3/16
P(T=18,19,20,22,23,26) = 9/64
...
有趣的是我们一定可以逃离迷宫. (1/4 + 3/16 + ... = 1), 可是逃离时间的平均值（期望）却是无限. (E(T) 不收敛)

B和原本情况没变, 所以不必考虑. 算过了A, C情况下的期望，可是也不收敛，可能有错误.... 迟些再想

[ 本帖最后由 铁蛋 于 18-10-2005 02:19 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

放心吧！他们都会收敛的。因为当你重复走回同样的路时，你的机率不再是1/4哦，而是更小！所以他一定收敛。

这题目是属于probability里expected value 的一种。

dunwan2tellu

铁蛋兄，B的情况有改变哦！原本迷宫是暗的，但是B的选择帮你照亮迷宫。这意味着个重要的讯息。

铁蛋

第一题换个角度来看。。。

考虑逃离迷宫的回合的分布，显然是根据几何分布 (geometric distribution)，有密度函数

P(X = x) = (3/4)^(n-1) (1/4) , x=1,2,....

E(X) = 3

平均用三个回合就可以摸出迷宫。考虑三个回合内逃出的总共时间 (共9项)，可得 192. 其平均是 64 / 3 = 21 1/3 小时.

p/s: 照亮迷宫有用吗。。。题目不是说了辨认不出任何一个出口吗？

[ 本帖最后由 铁蛋 于 18-10-2005 08:46 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

我不是很明白你的做法，但是expected value 应该会更多，因为你只考虑三回合就走出，而不是"无限"回合。

至于那个"照亮迷宫＂的提示呢，是酱子。我的确是说"无法分辨＂，但我的意思是在黑暗中你选的路是" at random "的，因为你＂看不到＂。不过若迷宫是亮的话，当然你还是不知道哪条是出路。但是，既然迷宫都亮了，你认为错的路你会再选一次吗？