比赛题目 (1 ~6)

1)有一場象棋比賽每位參賽者都必須與其他的選手各賽一局，勝者可得2分，敗者得0分，平手則各得1分。比賽結果A、B、C三人得到最後三名，且其他的每位參賽者的得分恰有一半是從與A、B、C三人比賽後得來的。請問這場比賽至多有多少人參加？

应该是 10 人吧。

2)n是大於2的自然數,如果有n個正整數的和等於這n個正整數的積,那麼在這n個正整數中至少有多少個正整數是1?

至少１個，１，２，３是一例

3)從1,2,…,205共205個正整數中,最多能取出多少個數,使得對于取
出來的數中的任意三個數a,b,c(a＜b＜c),都有ab≠c

取１+１４～２０５共２０５－１２＝１９３個

4)2.△ABC中,AB=13,BC=15,CA=14,點D在BC線段上,CD=6,點E在BC線段上使得
∠BAE=∠CAD,則BE線段長度為何?

13^2=14^2+15^2-2(14)(15)cos∠ACB
∠ACB=53.13
AD^2=6^2+14^2-2(6)(14)cos∠ACB
AD=11.45cm
6/sin∠CAD=11.45/sin53.13
∠CAD=24.78
∠BAE=∠CAD=24.78
13/sin53.13=14/sin∠ABC
∠ABC=59.49
∠AEB=180 - 24.78 - 59.49 = 95.73
13/sin95.73=BE/sin24.78
BE=5.476cm

5)請問123123…123(共30組123)除以37的餘數是多少？

123＝3×37＋12

123000＝123×1000
      ＝(3×37＋12)×(37×27＋1)

123000000＝123×1000^2
      ＝(3×37＋12)×(37×27＋1)^2

123123…123(共30組123)
＝123＋123×1000＋123×1000^2＋………＋123×1000^29

所以 123123…123(共30組123) 除以37的餘數
與12×30除以37的餘數相同

360÷37＝9….餘27

6)設p,q,(2p-1)/q,(2q-1)/p均為整數，且p≧q>1則p+q=?

(2p-1) 或 (2q-1)  都会得到奇数。
所以，如果 (2p-1)/q 要得到整数， q 最小是 3

(2p-1)/3 最小的整数 是 2
(2p-1)=6,  p=5.

代入， (2q-1)/p = (2*3-1)/5 = 1

那么p+q = 3 + 5 = 8

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 14-4-2007 11:41 AM 编辑 ]

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应该是 10 人吧。

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