完全平方数

我也不好意思，原来高氏（Gauss）函数就是floor function，哈哈！！！

pipi

sMIL3 于 28-5-2004 02:33 AM  说 :
我也不好意思，原来高氏（Gauss）函数就是floor function，哈哈！！！

我两年前才晓得这个东东。。。
中文提到的高斯函数，英文却好像没有 Gauss Function...??

更多关于高斯函数的资料，请参考：
http://www.wms.edu/rs/shuxue/CZM ... Web/jingsaiEs10.htm
或
http://202.113.96.10/zdsx/zdsx/artical/N4.htm

（派摄，有点离题了。。。）

[ Last edited by pipi on 28-5-2004 at 09:15 AM ]

flyingfish

mathworld的完全平方数(太多了,我昏了):
http://mathworld.wolfram.com/SquareNumber.html

pipi

sinchee 于 5-5-2004 11:14 AM  说 :
有没有人想过？？
为什么4个连续整数相乘后再加1，一定等于一个完全平方数？
例如：1*2*3*4+1 = 5^2
     2*3*4*5+1 = 11^2
     20*21*22*23+1 = 461^2
     ... ...

前几天，突然有个灵感：
在任一 公差为 d 的等差数列，设 w,x,y,z 为四个连续的 "terms"(当然，此等差数列的每一项(term)皆是整数)。
证明：wxyz + d^4 是个完全平方数。

p/s: 等差数列 = Arithmetic Progression (Janjang Arithmetic)
         公差 = common difference (beza sepunya)

例子：
公差为 3 等差数列: 4, 7, 10, 13, 16, 19, ...

(4)(7)(10)(13)   + 3^4 = 3721  = 61^2
(10)(13)(16)(19) + 3^4 = 39601 = 199^2

p/s: sinchee 的例子是当 d = 1

[ Last edited by pipi on 28-6-2004 at 09:20 AM ]

pipi

发现一个好玩的东西：
任意一组 Pythagorean triples (a,b,c),
{a,b,c 的common factor 是１｝
它满足
a^2 + b^2 = c^2

存在着整数 m,n,p,q 使到 a = mn 及 b = xy
我们发现：
2c = m^2 + n^2 或 2c = x^2 + y^2

例子：
(a,b,c) = (3,4,5)
3 = (1)(3)
2(5) = 1 + 9 = 1^2 + 3^2

(a,b,c) = (8,15,17)
15 = (3)(5)
2(17) = 9 + 25 = 3^2 + 5^2

(a,b,c) = (36,77,85)
77 = (7)(11)
2(85) = 49 + 121 = 7^2 + 11^2

你们也玩玩吧。。。

灰羊

flyingfish 于 27-5-2004 10:06 PM  说 :


呜呜,为什么没人玩我出的那题?

先答case1：x为奇数 吧.
x^2+y^2=z^2
x^2=z^2-y^2= (z-y)(z+y)

let x^2=a*b, a & b 是奇数
a=z-y
b=z+y
z=(b+a)/2
y=(b-a)/2

to minimize (z-y), a=1
b=x^ ...

我試試
x为偶数.(x>4)
x^2+y^2=z^2
x^2=z^2-y^2=(z-y)(z+y)

令x^2=4k (k屬于Z,k是完全平方數)
要讓(z-y)最小,則
z-y=1,z+y=4k

解聯立...
y=(x^2 - 1)/2
z=(x^2 + 1)/2

[ Last edited by 灰羊 on 6-11-2004 at 08:07 PM ]

flyingfish

灰羊网友,你好.
我这题完整的题目如下:
完全平方数是由两个完全平方数组成...(也就是这三个数是Pythagorean triples)

假如(x,y,z)是以下条件的解：
1.x^2+y^2=z^2,
2.x<y<z,
3.x,y,z都是整数,
4.要minimize (z-y)。

求(x,y,z), express y,z in terms of x
case1:x为奇数(已解,这里略过不谈)

case2: x为偶数，x>4
提示：
(6,8,10)
(8,15,17)
(10,24,26)
(12,35,37)...

注意x,y,z都要是整数..
---------------------------
你的解得出的y,z不是整数..
问题出在当z-y=1时,
y和z就会是一个奇数,一个偶数.
x^2+y^2=z^2 不合题意.

有兴趣可以再试试(参考提示)..

灰羊

flyingfish 于 9-11-2004 21:54  说 :
灰羊网友,你好.
我这题完整的题目如下:
完全平方数是由两个完全平方数组成...(也就是这三个数是Pythagorean triples)

假如(x,y,z)是以下条件的解：
1.x^2+y^2=z^2,
2.x<y<z,
3.x,y,z都是整数,
4 ...

注意到提示中z=y+2
另外x是偶數的話,zy奇偶性要相同...

x为偶数.(x>4)
x^2+y^2=z^2
x^2=z^2-y^2=(z-y)(z+y)

令x^2=2ab
要讓(z-y)最小,則
z-y=2,z+y=ab

解聯立...
y=(x/2)^2 - 1
z=(x/2)^2 + 1

灰羊

請教那裡有問題
(12,35,37)...
用我的公式算
x=12
y=(12/2)^2-1=35
y=(12/2)^2+1=37
.....

flyingfish

灰羊 于 11-11-2004 08:44  说 :
請教那裡有問題
(12,35,37)...
用我的公式算
x=12
y=(12/2)^2-1=35
y=(12/2)^2+1=37
.....

灰羊网友对了..
z-y=2, z+y = x^2/2
解联立...
y = (x^2)/4 -1,
z = (x^2)/4 +1
哈哈,不好意思,你写的没错,是我自己看错了...
其实和你的答案是一样的..

灰羊

^^除了2再平方是比較簡單...