euclid contest 题目

kensai

看到吗？

看不到短训我

dunwan2tellu

第10题曾经出在中国 Olimpiad .
当时题目好像是问 n = 1987 有没有可能成立。

第10题后半部的 concept 是
如果号码是 even 的话，那么那两个同样的 even number 一定是在不同奇偶性质的位子。

如果是 odd 的话，那么他们会在同样奇偶性质的位子。

Example : 如果 3 是第1个号码，那么另一个 3 一定是第5个号码。（1，5都是奇数）

如果2是第1个号码，那么另一个 2 在第 4 个位子。（1，4是一奇一偶）

kensai

原帖由 dunwan2tellu 于 13-6-2006 03:36 PM 发表
第10题曾经出在中国 Olimpiad .
当时题目好像是问 n = 1987 有没有可能成立。

第10题后半部的 concept 是
如果号码是 even 的话，那么那两个同样的 even number 一定是在不同奇偶性质的位子。

如果是 od ...

其实答案我早就有了，只是我想把问题分享出来罢了，
我觉得这两题很不错，没有人要做吗？

dunwan2tellu

9b)
Let BD = m , CD = n such that m + n = y then by cosine rule

x^2 = m^2 + 5^2 - 5m ....(i)
x^2 = n^2 + 5^2 + 5n ....(ii)

==> (m+n)(m-n)=5(m+n) --> m - n = 5 together with m+n=y we have
m = (y-5)/2 ; n = (y+5)/2

Plug into (i) and simplify to get

(2x + y - 10)(2x - y + 10) = 75

设 2x + y - 10 = A , 2x - y + 10 = B 和三角形特征 x + x > y ---> 2x > y

那么 B = 2x - y + 10 > 10 > 0 所以 A > 0

所以 (A,B) = (5,15) , (3,25) , (1,75)

但是唯一能符合的只有 (A,B) = (5,15) ==> x = y = 5

不过 x > z ,所以我觉得很奇怪。可能错了。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 18-6-2006 09:31 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

换另一个 approach

9) For convenient , let < ABD = t , from sine rule

sin t = z/x * sin 60 ....(i)

Since <BAC = 180 - 2t , from cosine rule

y^2 = 2x^2 + 2x^2 cos 2t ==> 4x^2 (1 - (sin t)^2) ....(ii)

so from (i),(ii) ; y^2 = 4x^2 - 3z^2

9b) When z = 5 , then (2x+y)(2x-y) = 75 ==> (x,y) = (19,37) , (7,11)

9c) 3z^2 = (2x+y)(2x-y) .

if z = 2 , no solution .

if z >= 3 ,since z is prime then we can only have

(2x+y,2x-y) = (3z^2 ,1) , (3z , z) , (z^2 ,3)

But (3z,z) is impossible since this gives us x = z , contradict .

so if z = p , then ( x,y,z) = ( (3p^2+1)/4 , (3p^2-1)/2 , p) , ((p^2+3)/4,(p^2-3)/2,p)

for all prime p >= 3

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 19-6-2006 12:55 AM 编辑 ]

kensai

原帖由 dunwan2tellu 于 18-6-2006 09:42 PM 发表
换另一个 approach

9) For convenient , let < ABD = t , from sine rule

sin t = z/x * sin 60 ....(i)

Since <BAC = 180 - 2t , from cosine rule

y^2 = 2x^2 + 2x^2 cos 2t ==> 4x^2 (1 ...

part b 对了
part c 其实是有 exact value 的

dunwan2tellu

原帖由 kensai 于 19-6-2006 09:20 AM 发表



part b 对了
part c 其实是有 exact value 的

用 cosine rule ,

x/sin t = y/sin(180-2t) = y/sin 2t  <==> cos t = y/2x

First case : x = (3p^2+1)/4 , y = (3p^2-1)/2
==> cos t = (3p^2-1)/(3p^2+1) approx 0.99  --> p = 7 or 11 . Check p = 7,cos t = 0.9865 ; p = 11,cos t = 0.9945

So p = 7 is nearer ==> (x,y,z) = (37,73,7) （竟然全部都是 prime )

Second case : x = (p^2+3)/4 , y = (p^2-3)/2

==> cos t = (p^2-3)/(p^2+3) approx 0.99 --> p = 23 , 29 . Check p = 23 , cos t =0.98872 ;
p = 29 , cos t = 0.9929 .

So p = 23 nearer to 0.99 ==> ( x,y,z) = (133,263,23)