如何证实/证明trigonemetry的数值

meemee

在trigonemetry里，30º，45º，60º 的sine，cosine，tangent都可以很容易的用普通计算机算到。。。然后，更进一步的我们可以计算到15º，75º，67.5º，22.5。。。

像 sin 30º = 0.5；sin 60º = √0.75 ≈ 0.866025

那么如果是：
sin 18º 和 sin 54º 呢？

有什么办法证明或计算出：
sin 54º = ( √5+1 ) / 4 = 1 / ( √5-1 ) ≈ 0.809017

sin 18º = ( √5-1 ) / 4 = 1 / ( √5+1 ) ≈ 0.309017

sin 54º - sin 18º = 0.5

这几个identity是我在研究5角形和足球的形状无意中发现的。。。

dunwan2tellu

let 18 = x then 5x = 90 ==> 3x = 90-2x

--> sin 3x = sin (90-2x) = cos 2x
-->3sin x - 4(sinx)^3 = 1- 2(sinx)^2
Let sin x = y then  4y^3 -2y^2-3y+1=0 ==> (y-1)(4y^2+2y-1)=0

Hence y=0 or 4y^2+2y-1=0 . But y=sin x =sin 18 =/= 0

Hence 4y^2+2y-1=0 ==> y = 1/2(-1 +Sqrt{5})  ( 因为 y=sin18>0 ）

之后要证明 sin54 的可以用 sin3x = 3sin x -4(sinx)^3 来求出 sin54 .

当让也有几何证明法，不过我忘了

kensai

原帖由 meemee 于 17-5-2006 11:11 AM 发表
在trigonemetry里，30º，45º，60º 的sine，cosine，tangent都可以很容易的用普通计算机算到。。。然后，更进一步的我们可以计算到15º，75º，67.5º，22.5。。。

像 sin 30º ...

可以用 iteration 的方法吗？

meemee

原帖由 kensai 于 17-5-2006 02:03 PM 发表



可以用 iteration 的方法吗？

试试看。。。

dunwan2tellu

sin 54 - sin 18 = (2cos18sin18 -2sin18cos18)/(2cos 18)
=(sin72+sin36-sin36)/2cos18
=sin72/2cos18
=cos18/2cos18
=1/2

meemee

原帖由 dunwan2tellu 于 17-5-2006 01:55 PM 发表
let 18 = x then 5x = 90 ==> 3x = 90-2x

--> sin 3x = sin (90-2x) = cos 2x
-->3sin x - 4(sinx)^3 = 1- 2(sinx)^2
Let sin x = y then  4y^3 -2y^2-3y+1=0 ==> (y-1)(4y^2+2y-1)=0

Henc ...

这里好像有点错误。。。(我说的对吗？)
y=1 or 4y^2+2y-1=0
.....

y = 1/4(-1 +Sqrt{5})
.....

huh，这个问题。。。对你好像很轻松。。。

这个部分，有没办法证明：
( √5+1 ) / 4 = 1 / ( √5-1 )
( √5-1 ) / 4 = 1 / ( √5+1 )

等下，我再出一题，关于微积分的，计算椭圆形的面积，敢不敢挑战。。。

bomber27

原帖由 meemee 于 18-5-2006 10:20 AM 发表


这里好像有点错误。。。(我说的对吗？)
y=1 or 4y^2+2y-1=0
.....

y = 1/4(-1 +Sqrt{5})
.....

huh，这个问题。。。对你好像很轻松。。。

这个部分，有没 ...

( √5+1 ) / 4 = ( √5+1 ) / ( 5-1)
              = ( √5+1 ) / [( √5-1)( √5+1)]
              = 1 / (√5-1)

dunwan2tellu

原帖由 meemee 于 18-5-2006 10:20 AM 发表


这里好像有点错误。。。(我说的对吗？)
y=1 or 4y^2+2y-1=0
.....

y = 1/4(-1 +Sqrt{5})
.....

huh，这个问题。。。对你好像很轻松。。。

这个部分，有没 ...

其实我曾经做过这题了。要挑战更多题目的话可以看看旧贴“trigonometry”。

不过我比较有兴趣的是几何解法。请问搂住的方法是？

至于你的疑问，我其实用了另外一招！那招其实是对的。

招数：
if quadratic equation is in the form ax^2 + bx+c = 0 such that b = 2k
then the roots is x = (-k +-Sqrt{k^2 - ac})/a

证法可以自己试试。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 18-5-2006 11:45 AM 编辑 ]

meemee

原帖由 bomber27 于 18-5-2006 10:47 AM 发表


( √5+1 ) / 4 = ( √5+1 ) / ( 5-1)
              = ( √5+1 ) / [( √5-1)( √5+1)]
              = 1 / (√5-1)

哎啊。。。这么简单。。。
我不认老也不行了。。。

meemee

原帖由 dunwan2tellu 于 18-5-2006 11:35 AM 发表


其实我曾经做过这题了。要挑战更多题目的话可以看看旧贴“trigonometry”。

不过我比较有兴趣的是几何解法。请问搂住的方法是？

至于你的疑问，我其实用了另外一招！那招其实是对的。

招数：
if qu ...

呵呵。。。这个可难倒我了。。。这是我在中学时期找到的，距离现在有10多年了。。。资料也刚刚被丢掉了 。这还不是最可惜的，我纪录的一些天文资料也没了

如果，我没记错的话，我是研究足球的表面发现的。。。足球的表面是由一个5角形和5个6角形包围着。。。
我再试试看，看能不能找得到。。。