Laplace transform 挑战

山羊座

本人有四题有关於Laplace transform的挑战题
目前为止
本人大約只能解第三题而已
希望有人可以解到其他三题
日后會公佈正确答案(大約一个月后)
以让有更多有兴趣的朋友参考
只是
现在希望可以有人可以一起想想
一起討论

請版主先不要移贴
日后有案后才一並移去有关於laplace transform的贴











[ 本帖最后由 山羊座 于 18-11-2005 02:31 AM 编辑 ]

fadeev_popov

山羊座

原帖由 fadeev_popov 于 10-11-2005 11:31 PM 发表

厉害厉害
这里果然臥虎藏龍
謝謝你
希望你还可以継续尝試一下

fadeev_popov

f(t) 应该是 square wave 来的。



第一题的方程式也可以用来检验答案，方法如下：

山羊座

fadeev_popov 同学
你真的很厉害

我想請問几个問题
在第一题中
做么我們可以define f(t)=f(t+tao)=f(t+2tao)=......
因为它是periodic的嗎?

請問上面的是否也包括第三题的solution?
还有
那个square wave图标怎么弄的?
用什么software?

还有
做么s會>0??

"第一题的方程式也可以用来检验答案，方法如下"中的图
做么要从0到 2tao 呢?不可以是到3tao嗎?
是不是要看
f(t)=1, 0<t<tao
    =0, tap<t<2tao 而已?
所以就取t=2tao嗎?

第二题的式子为什么可以証回第一题呢?
怎么懂f(t)=1, 0<t<tao
          =0, tao<t<2tao 呢?


請問你可以帮我解释一下嗎?
謝謝

[ 本帖最后由 山羊座 于 11-11-2005 08:47 AM 编辑 ]

fadeev_popov

不要再讲我厉害了，这样会令我感到惭愧。
大家交流讨论就好。

在第一题中
做么我們可以define f(t)=f(t+tao)=f(t+2tao)=...

f(t) = f(t + tao)是题目给的。
既然f(t)=f(t + tao)，那么，f(A) = f(A + tao).
设A = t + tao，那就得到f(t + tao) = f(t + tao + tao) = f(t + 2tao).
依次类推，就会得到 f(t) = f(t + tao) = f(t + 2tao) = f(t + 3tao) = ...

請問上面的是否也包括第三题的solution?

第三题的graph和第二题的有点不一样。

那个square wave图标怎么弄的?
用什么software?

我用smart draw 6.5画的。

做么s會>0??

s 不单要 > 0，而且还要够大，以便当 t --> infinity 时，f(t)e^{-st} 能 --> 0，以保证 L{f(t)} 的存在。

山羊座

謝謝你的解答
这样一来明白很多了

smart draw6.5可以从网上下載嗎?
沒听过
要打程式的嗎?

第三和第四有头緒了嗎?

fadeev_popov

第三题的答案应该是显而易见的，
因为有这样的一个theorem:
for A >= 0,
L{H(t-A)} = (1/s)e^{-sA} （没有书在手，希望没有记错）
所以，只要分别设 A = 0, A = tao, A = 2tao, A = 3tao,
就可以找到你要的答案。

山羊座

原帖由 fadeev_popov 于 11-11-2005 05:43 PM 发表
第三题的答案应该是显而易见的，
因为有这样的一个theorem:
for A >= 0,
L{H(t-A)} = (1/s)e^{-sA} （没有书在手，希望没有记错）
所以，只要分别设 A = 0, A = tao, A = 2tao, A = 3tao,
就可以找到你要 ...

这样不是跟第二题的答案很像似嗎?

还有
怎样懂第一题也可以由第二题証得?

fadeev_popov

"第一题的方程式也可以用来检验答案，方法如下"中的 t 做么要从 0 到 2tao 呢？不可以是到 3tao 嗎？
是不是要看
f(t) = 1, 0 < t < tao
     = 0, tao < t < 2tao 而已，
所以就取 t = 2tao 嗎？

因为 f(t) （那个square wave）就是一个 periodic function with period 2tao. 从图下可以看出，f(t) 一直在重复 0 到 2tao 的本身，所以周期是 2tao.

fadeev_popov

第二题的式子为什么可以証回第一题呢?

第二题的式子并没有証回第一题。
在第一题里，我们用 Lapalace transforms 的定义所得到的 formula 适用于所有的 periodic functions, 而第二题中的 square wave 刚好就是一个周期为 2tao 的 periodic function, 所以那个 formula 当然也适用于它。

怎么懂 f(t) = 1, 0 < t < tao
            = 0, tao < t < 2tao 呢?

1）从 f(t) 的 graph 可以看得出来。
2）你尝试把 H(t), -H(t-tao), H(t-2tao), -H(t-3tao), ... 的 graphs 加起来后也可以看得出。

fadeev_popov

smart draw 6.5 可以从网上下載嗎？
沒听过。
要打程式的嗎？

好像有 7.0 的可以下载，忘记在哪个网址。

第四有头緒了嗎?

第四题我不会解，好像跟专业有关，是 signal processing 吗？还是 control system ?

山羊座

原帖由 fadeev_popov 于 12-11-2005 07:47 PM 发表


好像有 7.0 的可以下载，忘记在哪个网址。



第四题我不会解，好像跟专业有关，是 signal processing 吗？还是 control system ?

我短消息問你的問题你收到了嗎

fadeev_popov

在第一题solution中
你展开 L{f(t)}= ... + ... + ...+ ...
在第一项是从 0 到 tao, 第二项是从 tao 到 2tao, ...

接著第一项保留
第二个変成从 0 到 tao
而 f(t)e^{-st} 変成 f(t+tao)e^{-s(t+tao)}
要怎样解释呢?
做么第一项不用変？

第一项不用変是因为我的用意就是要所有的 terms 的 integration limits 都是从 0 到 tao.

而至于 f(t)e^{-st} 変成 f(t+tao)e^{-s(t+tao)} 那是因为：

for t from tao to 2tao, f(t)e^{-st}, ----------------------(1)

可以被写成：

for t from 0 to tao, f(t+tao)e^{-s(t+tao)}. ---------------(2)

(1) 和（2）是一样的，不同写法而已。

把 tao to 2tao 代进 （1）中，得到：

f(tao)e^{-s(tao)} to f(2tao)e^{-s(2tao)}.


把 0 to tao 代进 （2）中，同样，也得到：

f(tao)e^{-s(tao)} to f(2tao)e^{-s(2tao)}.

[ 本帖最后由 fadeev_popov 于 13-11-2005 12:40 AM 编辑 ]

山羊座

原帖由 fadeev_popov 于 13-11-2005 12:38 AM 发表


第一项不用変是因为我的用意就是要所有的 terms 的 integration limits 都是从 0 到 tao.

而至于 f(t)e^{-st} 変成 f(t+tao)e^{-s(t+tao)} 那是因为：

for t from tao to 2tao, f(t)e^{-st}, --------- ...

謝謝你
完全明白

第三题的解法好像跟第二题的很像
是嗎?

sosseres

already being solved.... post some more next time...

这已经不是第一次警告。
请用中文发表。
请注意论坛规则。

[ 本帖最后由 多普勒效应 于 14-11-2005 06:08 PM 编辑 ]

fadeev_popov

第四题：

fadeev_popov

当 tao = 0.05 时，
f_input：


f_output：

fadeev_popov

当 tao = 1 时，
f_input：

f_output：

fadeev_popov

当 tao = 5 时，
f_input：

f_output：