AMC(USA) 题库

dunwan2tellu

经过和多铺勒效应讨论后，决定在这里开一个AMC题目贴，题目来源是一个叫Mathlink/AoPS的网站。那些对数学或我国OMK有兴趣的朋友都欢迎来这里。美国数学竞赛(AMC)讨论区http://chinese.cari.com.my/myfor ... &extra=page%3D1


AMC 12 (1966)
1)已知 3x-4 和 y+15 的比例是固定的。当y=3 , x=2 .那么当y=12 时，x=?

AMC 12 (1977)
1)已知y=2x , z=2y 那么x+y+z=? (in term of x)

2)以下那一个句子有误？所有的等边三角形都是
A.有相同的内角
B.等腰
C.等边的多边形(regular polygon)
D.和其他的等边三角形全等(congruent)
E.和其他的等边三角形相似(similar)

3)某人口袋里有钱币共值$2.73 。 其中有pennies(一分硬币),nickels(五分硬币),dimes(一角硬币),quarters(两角五分硬币) ,half dollars(五角硬币)。若他所拥有的硬币每个数量都相同。那么他共拥有多少硬币呢？

AMC 12 (1980)
1)一个等差级数的"前十项的和" 和 "前一百项的和"分别为100和10 .那么这等差级数的"前110项的和" 是多少?

2)最大的整数，使到这数的7倍还小过100的是什么数?

3)多项式 (x^2 +1)^4 .(x^3 +1)^3 的最高次数是多少?

4)若 2x-y : x+y = 2:3 , 则 x:y =?

5)ABCD是正方形.有个点E,使到CD=DE=EC , 且CDE是等边三角形。点G和F,使到DEFG是四方形.找出角GDA .

6)一个正数 x ,满足 sqrt{x} < 2x 仅当(if and onyl if)
A. x>1/4   B.x>2   C.x>4   D.x<1/4   E.x<4

7)AB,BC,CD,DA是凸多边形(convex polygon)ABCD 的边，长度分别是3,4,12,13,角CBA是90度 .那么这四边形的面积是多少?

8)1/a + 1/b = 1/(a+b) 共有多少非零实数解a,b 呢?

AMC 12 (1982)
1)nC1 , nC2 , nC3 是等差数列当n>3 , 那么 n = ? [这里 nC1= n!/1!(n-1)! ，nC2=n!/2!(n-2)!]

2)若 f(x) =ax^7 + bx^3 + cx -5 , 而 f(-7)=7 .那么f(7)=?

AMC 12 (1983)
1)若x =/= 0 , x/2 =y^2 , x/4 =4y , 那么 x = ? (答案是整数)

2)质数(prime) p,q,r 符合 p+q=r 和 1<p<q , 那么 p = ?

3)三角形ABC直角于C。如果 sinA=2/3 那么 tanB= ?

4)当 x^5 , x + 1/x , 1 + 2/x + 3/x^2 相乘时，所得到的多项试的最高次数是多少?

5)小明用比原价少RM10的价钱把一个物品卖掉，过后得到10%的佣金(commision)。小华用比原价少RM20的价钱把同样物品卖掉后得到20%的佣金。已知它们两得到同样数目的佣金,那么那物品的原价是多少?

6)f(x) = (x+1)/(x-1) . 当 x^2 =/= 1 时 ， f(-x) 是
A . 1/f(x)  
B. -f(x)
C. 1/f(-x)
D.-f(-x)
E f(x)

7)在一个taman 里，女人和男人的比例是11:10 . 若女人的平均年龄为34 , 男人的平均年龄为 32 , 那么这taman里的人的平均年龄是多少?

8)简化 sin(x-y)cos y + cos(x-y)sin y

9)若xy=a , xz=b , yz=c , 而他们之中没有任何一个是０，那么
x^2 + y^2 + z^2 = ? (in term of a,b,c)

10)3^(1001) x 7^(1002) x 13^(1003) 的末位数是 ?

11)设 x=123456789101112...998999,号码是从1写到999.那么从左边算起第1983个数目是什么呢?

12) f(x^2 + 1) = x^4 + 5x^2 + 3
那么 f(x^2 - 1) = ?  (for all real x)

To Be Continue ...

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 5-11-2005 10:15 PM 编辑 ]

灰羊

封鎖主題吧
又解答又灌水又題目
很亂水的

[ 本帖最后由 灰羊 于 1-11-2005 08:45 PM 编辑 ]

多普勒效应

好主意！
那么我关闭这主题，然后再开一个"美国数学比赛讨论区"
以供讨论

dunwan2tellu 记得 update 题目哟

dunwan2tellu

AMC 12 (1984)
1)1000^2/(252^2-248^2) = ?

2)若 x,y 和 y-1/x 都不为0,那么
{x-1/y}/ {y-1/x} = ?

3)设 n 为最小的非质整数(non-prime integer).若n>1,且没有<10的质因子(prime factor),那么以下那个是对的？
A. 100<n=<110
B. 110<n=<120
C. 120<n=<130
D. 130<n=<140
E. 140<n=<150

4)点B,C,F,E都在一圆内使到 BC||EF .向左延长BC，使到点A在圆外而 AB=4 和 BC=5 .向左延长EF 使到点D在圆外且 DE=3 .若 AD 直角于AC和DF ,那么 EF=?

5) 最大的整数 n 使到 n^200 < 5^300 是多少?

6)小华以每分钟90步的速度走去学校，每一步75cm长，共用16分钟到达学校。他的哥哥确是以每分钟100步的速度，每步60cm长，走去相同的学校。那么他的哥哥会用多少时间到达学校呢？

7)四方形ABCD , 而 AB||CD ,AB=5.BC=3sqrt{2} , 角BCD=45度，角CDA=60度 。 DC = ?

8) 4^16 x 5^25 有几位数 ?

9)4个复数(complex number)分别是complex plane 里四方形的四个角。其中三个是 1+2i , -2+i , -1-2i ,那么第4个是多少?

10)有个计算机里有个按钮，按下它就会把你输入的数目平方(square),另一个按钮则会把数目变成倒数(reciprocal).假设最后的数目是 y 而你一开始输入的是 x (=/= 0) 且过后分别不断交换按平方和倒数的按钮，每个按 n 次 . 如果那计算机能显示最终的答案(答案不会那近似值)，那么 y = ?
A. x^((-2)^n)
B. x^(2n)
C. x^(-2n)
D.x^{-(2^n)}
E. x^((-1)^n.2n)

11) a_{n+1} = a_n + 2n , a_1 = 2 , n>= 1
那么 a_100 = ?

12)2sqrt{6} / (sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{5} = ?

13) 所有 x^(log x) = 10 的实数解的积是多少?

14)sin2x sin3x = cos2x cos 3x , 那么x = ?
A. 18度    B. 30度   C. 36度  D.45度   E.60度

15)对于所有的实数 x , f(2+x) = f(2-x) .若 f(x)=0 只有四个互不相同的实数解，那么这四个解的和是多少?

16)直角三角形ABC , AB为斜边 ，AC=15 .高 CH 将AB分成AH 和HB ，HB＝16 。 那么ABC 的面积是多少？

17)坐标上的点(x,y) 使到这点与x,y轴和 x+y=2 同距离。那么 x=?

18)一个箱里有11球，分别标上1到11。六个球同时从箱子里取出，所得的球上的数目的和是奇数的机率是多少？

19) 方程式 |x-|2x+1|| = 3 有几个不通的解(distinct solution) ?

20)共有多少个正整数解(a,b,c)符合 ab+bc=44 , ac+bc=23 .

21)a,c是两个固定的正数。对于每个实数 t ,设 (x_t ,y_t)为抛物线 y=ax^2 +bx +c 的顶点。把所有的(x_t,y_t)都画在同一个坐标上时，那图形是
A. 一直线
B. 抛物线
C. 只有某部分是抛物线
D. 半边的hyperbola
E. 以上介非

22)(sin10+sin20)/(cos10+cos20) = ?

23)a,b是正实数，而 x^2 +ax+2b=0 和 x^2 +2bx+a=0都有实数解。那么 a+b 的最小值是多少?

24)一长方体的所有面的面积是22cm^2 ,所有长度的和为24cm . 请问那长方体的内对角边(internal diagonal)是多少?

25)钝角三角形ABC(obtuse triangle) , 角C>90度 ，AM＝MB ，MD直角于BC , EC直角于BC (D在BC ，E在AB ，M在EB).若ABC的面积是24 .那么 BED 的面积为多少?

26)三角形ABC，D在AC上，F在BC上。AB直角于AC，AF直角于BC ，BD＝CD＝FC＝1 。 AC＝？

27)sqrt{1984} = sqrt{x}+sqrt{y} , 0<x<y 。这方程组里共有多少个整数解呢?

28)若(x-3)^2 + (y-3)^2 = 6 .那么 y/x 的最大实数值是什么?

29)复数 w =a+bi , |w|=sqrt{a^2+b^2} , w=cos40+isin40 ,请找出

|w + 2w^2 + 3w^3 + ... + 9w^9 | ^(-1) = ?  

A.1/9 sin40   B. 2/9sin20   C.1/9cos40  D.1/18cos20  E以上介非

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 5-11-2005 06:15 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

AMC 12 (1985)
1)请问"CONTEST" 这字有几种排法，且开头两个必须是vowel (A,E,I,O,U)?

2)设 p,q,r为三个互不相同的质数。以下那个是最小正立方数(positive perfect cube),使到 n=p.q^2.r^4 是那立方数的除数(divisor)?
A. (pqr)^8
B. (p.q^2.r^2)^3
C. (pqr)^6
D. (p.q.r^2)^3
E. 4(pqr)^3

3)若 a,b 为正数，使到 a^b = b^a , b=9a , 那么a = ?

AMC 12 (1986)
1)我们都知道 AHSME 这五个字母有 120种排法。将这 120 个字重新以字母顺序排列(即 AEHMS 到 SMHEA),那么第85个字的最后一个字母应该是什么呢?