关于无限

三个学生用三种不同的方法，计算式子

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... ...

A ：原式 = (1-1)+(1-1)+(1-1)+ ...
        = 0+0+0+0+ ...
        = 0

B ：原式 =1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+ ...
        = 1+0+0+0+ ...
        = 1

C ：令 X = 1-1+1-1+1-1+ ...
       X = 1-(1-1+1-1+ ...)
         = 1-X
      2X = 1
       X = 1/2

亲爱的网友，那一个才是对的呢？？？

井底之蛙

A和B其中一个有可能是对的，而C应该是错。
因为
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... ...
当(-1)^n,n->∞ 你跟本无法断定是-1还是1，
所以，当你在计算
n
∑(-1)^k, n->∞, 时，你很难说明你的结果是那一个。
k=1
除非你有条件，例如你说最后一个数字是-1还是1；
若是-1，则A对；反之，若是1，则B对。
否则，A和B都有可能是对，也有可能使错。

至于C应该是错，因为

令 X = 1-1+1-1+1-1+ ...
   X = 1-(1-1+1-1+ ...) <<<< 此X
     = 1-X              <<<< 非彼X

虽然在做数学问题时，常看到以上的代入法来解决问题，但通常都会有特定的条件在背后支持，只是多数时候我们不知道而已。
在这里由于X是个不定数，故我认为我们不能用这种方法来解决问题。


本人愚见，请多多指教。

[ Last edited by 井底之蛙 on 6-5-2004 at 04:50 PM ]

因为 1-1+1-1+... (至无穷)
所以 1-(1-1+1-1+...) <<< 此X为彼X！！！

想想√{2√[2√(2√...)]} 至无穷，等于？？？

多普勒效应

let √{2√[2√(2√...)]}=X
X=√(2X)
X^2 - 2X=0   X=0(不可能) or X=2
所以，X=2

记得有一个无穷等比级数的和 ，公式是 S∞ = a/(1-r)
然后就是讲，当 | r |>=1 的时候,前面 n 项的和不会越来越接近任何有限的数,无穷级数的和就无意义 。
如题，a=1 ,r = -1,| r |=1
这并不是无穷级数之和，不能说到无穷是多少。

井底之蛙

X = 1-1+1-1+1-1+ ...
   X = 1-(1-1+1-1+ ...) <<<< 此X
     = 1-X              <<<< 非彼X
进一步说明：
在这里我觉得若你真的要用这种的带入法的话，
首先你必须先确定当你的X向无穷靠近时，X会靠近一个数目或无穷，否则就不应该用此方法。
但在这里的X并不符合情况，所以不适合用。

本人愚见，再次指教。

pipi

我觉得xinchee网友提出的

因为 1-1+1-1+... (至无穷)
所以 1-(1-1+1-1+...) <<< 此X为彼X！！！  

及

想想√{2√[2√(2√...)]} 至无穷，等于？？？

是想比较比较。。。
我们可用多普勒效应网友的

let √{2√[2√(2√...)]}=X
X=√(2X)
X^2 - 2X=0   X=0(不可能) or X=2
所以，X=2

来解一些无穷级数的和，但为何却不能解某些无穷级数的和。。。

井底之蛙网友的解释

首先你必须先确定当你的X向无穷靠近时，X会靠近一个数目或无穷，否则就不应该用此方法。

也有道理。。。

不过，我们几时才懂，又如何去懂一些无穷级数是有极限呢？？

各位，你们知道我在 bababra 什么吗？？

[ Last edited by pipi on 6-5-2004 at 05:16 PM ]

多普勒效应

bababra 是甚么？？

bababra 是语助词，
即是说，他讲了一大堆别人听不懂，自己也搞不懂的话！！

flyingfish

记得好像有很多convergence test(不懂怎样翻译)，如comparison test, ratio test, root test等，都还给老师了。。哈哈。。

flyingfish 于 6-5-2004 11:26 PM  说 :
记得好像有很多convergence test(不懂怎样翻译)，如comparison test, ratio test, root test等，都还给老师了。。哈哈。。

converge - 收敛？

jwyong 于 7-5-2004 08:55 AM  说 :


converge - 收敛？

convergence - 集中
意思是，当一个级数趋近于无限时，它会朝着一个点集中，即他会趋近于一个定值。

sinchee 于 7-5-2004 10:28 AM  说 :


convergence - 集中
意思是，当一个级数趋近于无限时，它会朝着一个点集中，即他会趋近于一个定值。

pai seh...

我的翻译是refer to this site

http://www.scnu.edu.cn/physis/gaoshu1.html

pipi

jwyong
convergence - 收敛??

converge （的专业术语）～～ 收敛

sinchee
convergence - 集中

不是 ～～ 集中

pipi 于 7-5-2004 11:49 AM  说 :


converge （的专业术语）～～ 收敛


不是 ～～ 集中

所谓知错能改，善莫大焉。。。
pipi前辈的赐教，小女子在这里谢过了！！！

flyingfish

原来convergence tests有这么多种。。
http://mathworld.wolfram.com/ConvergenceTests.html

以上网站很好，很多数学的公式都能找到。。

铁蛋

试问:

(2 * 2 * 4 * 4 * 6 * 6 * ...) / (1 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7 * ...)

收敛或发散 ?

微中子

是不是呢?
因为(2 * 2 * 4 * 4 * 6 * 6 * ...) / (1 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7 * ...)
= 2/3 * 2/3 * 4/5 * 4/5 * 6/7 * 6/7 * ...
会趋向0吧?

铁蛋

微中子 于 14-5-2004 11:48 AM  说 :
是不是呢?
因为(2 * 2 * 4 * 4 * 6 * 6 * ...) / (1 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7 * ...)
= 2/3 * 2/3 * 4/5 * 4/5 * 6/7 * 6/7 * ...
会趋向0吧?

有趣... 但不是收敛到 0. 面对 Infinite Product 或 sum 时, 有时次序很重要 (可参考 Sinchee 的 ＂有关无限＂.

再试试看吧！

pipi

铁蛋 于 14-5-2004 12:05 PM  说 :


有趣... 但不是收敛到 0. 面对 Infinite Product 或 sum 时, 有时次序很重要 (可参考 Sinchee 的 ＂有关无限＂.

再试试看吧！

竟然不是收敛到 0 。。。
太神奇了。。。