题库：存在与否？来想想吧！

dunwan2tellu

1）

(i)已知 a,b,c,d =< 1 .证明 4a(1-b) , 4b(1-c) , 4c(1-d) , 4d(1-a) 中，至少有一个不大于 1。

(ii) a,b,c =< 1,证明 3a(1-b) , 3b(1-c) , 3c(1-a) 中，至少有一个不大于 1。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 16-6-2006 04:46 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

2）设有 n 个人，他们互通电话传消息。两人一通点就把所知道得告诉对方。求证

(i) n = 4时，只要这4人之间通电4 次，就可以使4人知道所有的消息。
(ii) n>4 时，共同电 2n-4 此，才可以使这 n 个人，每人都知道所有消息。

dunwan2tellu

3) 有若干男女，排成一列，两端的两人性别相同（同男或同女），其余的人随意排在中间，那么“男女”或“女男”的相邻二人组的组数比为偶数。

dunwan2tellu

4)简单染色+奇偶分析题目：

圆周上有 2005个点，若我们给每个点染两次颜色：或蓝红，或全红，或全蓝。最后统计知染红色 2005 次，染蓝色 2005 次。求证至少有一点被染上红蓝两种色。

dunwan2tellu

5）证明：任意六个人里，必定有3个人，或他们都互相认识，或他们都互不认识。

fritlizt

原帖由 dunwan2tellu 于 19-3-2006 04:50 PM 发表
4)简单染色+奇偶分析题目：

圆周上有 2005个点，若我们给每个点染两次颜色：或蓝红，或全红，或全蓝。最后统计知染红色 2005 次，染蓝色 2005 次。求证至少有一点被染上红蓝两种色。

一个填色两次。
如果没有一点是红蓝， 那就是说每一个一定是红两次。 不过根据统计， 红色被涂了2005次。 证明有至少一个点子只被涂到一次。
如痴类推， 蓝色也是一样/2005次。
总共也只有2005各点。

所以最少有一个是被涂上红蓝。

kensai

4）

2005/2 = 1002。5

那个 。5 代表最少一个红蓝点。

kensai

5）

这题有点无聊罢。
6/2 = 3 ， 中间是3，
6 个人里面如果有0/1/2/3 人不互相认识,那就是说有 6/5/4/3 人互相认识，那

"必定有3个人，或他们都互相认识，或他们都互不认识" 这句话成立。

6 个人里面如果有3/4/5/6  人不互相认识,


"必定有3个人，或他们都互相认识，或他们都互不认识" 这句话又成立。

所以无论如何，这句话都成立

[ 本帖最后由 kensai 于 23-3-2006 04:09 PM 编辑 ]

kensai

3） 如果两端都是性别 M, 那在 里面随便一个位置的 F有三个情况， MFM 或 MFFM，或MFXFM。
x = nf,where n=1,2,3,4....

第一个情况,男女或女男组合有两个
第二个情况,男女或女男组合有两个
第三个情况,男女或女男组合有两个

所以无论如何都是 双数吧？

如果两端都是性别 F，更上面的解释一样。F 和 M 调换。

dunwan2tellu

原帖由 kensai 于 23-3-2006 03:08 PM 发表

6 个人里面如果有0/1/2/3 人不互相认识,那就是说有 3/4/5/6 人互相认识，那

"必定有3个人，或他们都互相认识，或他们都互不认识" 这句话成立。

...

这句话有些问题。

照你的逻辑，如果有 2 人不互相认识，（假设 A 不认识 B) , 那么“就有 5 人互相认识。" (这句话就有问题）。难道 A,B,C,D,E,F 6 人，如果 A 不认识 B,那么 A,C,D,E,F 就会互相认识？太玄了吧？

kensai

刚刚打错了，现在不懂对不对

dunwan2tellu

原帖由 kensai 于 23-3-2006 04:10 PM 发表
刚刚打错了，现在不懂对不对

依然有问题。

同样的例子。

若 A ,B 互不认识。为何 C,D,E,F 一定互相认识？

再来 如果 A * D ,A * E , B * D , B * F , C * E , C * F

* = 认识

那么这个情况又归类于哪种呢？

康骑士

原帖由 dunwan2tellu 于 23-3-2006 06:04 PM 发表


依然有问题。

同样的例子。

若 A ,B 互不认识。为何 C,D,E,F 一定互相认识？

再来 如果 A * D ,A * E , B * D , B * F , C * E , C * F

* = 认识

那么这个情况又归类于哪种呢？

那么 A,B,C都互相不认识啊，那句话又成立了
运用抽屉原理很快就弄出答案...

dunwan2tellu

原帖由 康骑士 于 23-3-2006 08:18 PM 发表

那么 A,B,C都互相不认识啊，那句话又成立了
运用抽屉原理很快就弄出答案...

因为kensai 说的 case 只有 0/1/2/3 互不认识，所以我才举个例子,反问他我所给出的情况是属于那种 case ...

如果可以的话，请把完整的答案写出来。一句“运用抽屉原理很快就弄出答案”实在是没有多大的意义吧？

dunwan2tellu

抽屉原则：

证明在边长为 1 的等边三角形里画 33 个不同点。证明必定有三个点，他们是在一个半径为 1/6 的圆里面。

dunwan2tellu

平均值增加题目：

某人的考试的总评均是 S .证明若他多考 k 张试卷，且每张试卷的分数都 >S , 则他的新总评均会增加。

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 30-3-2006 04:32 PM 发表
平均值增加题目：

某人的考试的总评均是 S .证明若他多考 k 张试卷，且每张试卷的分数都 >S , 则他的新总评均会增加。

设他原本考了n张试卷
S = sum{分数}/n
sum{分数} = nS
考过k张试卷后，
新的sum{分数} = nS + k(S+p)    p是positive real
              = (n+k)S + pk
新的总平均 =[(n+k)S + pk]/(n+k)
           = S + pk/(n+k) > S

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 30-3-2006 05:28 PM 发表

设他原本考了n张试卷
S = sum{分数}/n
sum{分数} = nS
考过k张试卷后，
新的sum{分数} = nS + k(S+p)    p是positive real
              = (n+k)S + pk
新的总平均 =[(n+k)S + pk]/(n+k)
           =  ...

不错！不错！题目虽然靠基本常识，不过若没下一番功夫证明却可能会认为这只是“理所当然”...

染色问题Take Two ：

在坐标的第一象限上(first quadrant)的每一个点染上红或蓝色。证明我们总是可以找到无限个同色点 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)....使到他们符合条件 0 =<x1<x2<x3<.... , 0 =<y1<y2<y3 ....

dunwan2tellu

题目：

一个盛大派对里，有 1990 人出席，每人至少认识 1327 出席者。证明，我们可以从中找到 4 个人，他们都互相认识。

原帖由 dunwan2tellu 于 16-4-2006 10:24 PM 发表
题目：

一个盛大派对里，有 1990 人出席，每人至少认识 1327 出席者。证明，我们可以从中找到 4 个人，他们都互相认识。

1990人中，一定可以找到两个互相认识的人，SAY A & B。而两个认识的人中，因为每个人至少认识1327人，因此，他们两个最少有664个相同的朋友,SAY C。对于C而言，他也认识至少1327人。因此，A,B,C三人刚好只有有一个相同的朋友，SAY D。

所以，A,B,C,D互相认识。Hence Proved。




[ 本帖最后由 もも 于 23-4-2006 01:23 PM 编辑 ]