数学训练（十月份）

pipi

基于之前的＂数学训练～每日一题＂里头的贴子算是蛮多的了，有网友向我反映在找答案是有点困难、有点眼花撩乱！！所以在这个十月份，开个新贴！！暂且命名为＂数学训练（十月份）＂。

十月份之后，我将＂数学训练～每日一题＂及＂数学训练（十月份）＂合并！！

另外，请有兴趣的网友留意：
我将所有的问题放在这个贴（第一面），每日更新题目！！这是为了避免问题四处   飞

还是老样子：
我会每天都会贴一个数学题目（一般的比赛题目）。程度方面就由初中至高中，乃至大专都会有。
（             星期一至星期三：初中 (A)
               星期四至星期三：高中 (B)
               星期日        ：大专 (C) ）

我的用意是想让大家参与。所以程度浅的也有，深的也有，任君选择属于自己能力范围里的。也希望大家能多多互相讨论！！


请多多支持！！
（答案最快在隔天公布）
（对于提高不提高积分，我觉得若是有兴趣＂玩＂的网友都不在意！！所以，玩得开心就好！！）


01/10/2004，星期五
高中(B20) 如图，PQ，QR，RP 个别是个别圆的直径；而 A,B,C 则各为阴影部分的面积。
          求证： A + B = C
          （已解）
          （答案：--）
          （解对者：fritlizt，eeCyang，sinchee，灰羊，38女）

02/10/2004，星期六
高中(B21) x 是任意实数，求证： cos(cos x) ≥ sin x 。 （已解）
         （答案：--）
         （解对者：sMIL3）

03/10/2004，星期日
大专(C7)
        
        （ 提示：利用 Mean Value Theorem ）   （待解）
        （答案：）
        （解对者：）

04/10/2004，星期一
初中(A22) 当 1956, 1980 及 2004 除一正整数 a ，其余数均为 b 。
          求 a + b 的最大值。 （已解）
          （答案：36）
          （解对者：38女）

05/10/2004，星期二
初中(A23) 如图， PQRS 为一长方形。已知 PQ = 3 PS，ST:SR = 1:3 。
          求 三角形 SUT 的面积 和 阴影部分面积 之比。
          （已解）
          （答案：1 ： 5）
          （解对者：史奴比{^_^}）

06/10/2004，星期三
初中(A24) 已知 a = x + 1
               b = x + 2
               c = x + 3
          求 a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca 之值。 （已解）
          （答案：3）
          （解对者：38女史奴比{^_^}，止战之殇，灰羊，sMIL3）

07/10/2004，星期四
高中(B22)
          （已解）
          （答案：--）
          （解对者：sinchee）

08/10/2004，星期五
高中(B23) 有两堆棋子，数目相等．两人玩耍，每人可以在一堆里任意取几颗，但不能同时在两堆里取，规定取得最后一颗者胜。
          求证后取者可以必胜。 （已解）
          （答案：--）
          （解对者：灰羊）

09/10/2004，星期六
高中(B24) 不许用计算机，试比较 e^π   与 π^e，哪个比较大？ （已解）
         （答案：e^π）
         （解对者：sMIL3）

10/10/2004，星期日
大专(C8)
         （已解）
        （答案：--）
        （解对者：情~風）

11/10/2004，星期一
初中(A25) 若 a/b = b/c = c/d = d/a ，其中 abcd ≠0。
          求 (a+b+c+d)/(a+b+c-d) 之值。 （已解）
          （答案：0 或 2）
          （解对者：史奴比{^_^}，430201）

12/10/2004，星期二
初中(A26) 已知 A,B,C,D,E 为整数，且 0 ≤A,B,C,D,E≤9 。

           若   A B C D E
             x          4
          _________________
                E D C B A  
               ----------
          求 A,B,C,D,E 之值。 （已解）
          （答案：(A,B,C,D,E)=(2,1,9,7,8)）
          （解对者：史奴比{^_^}，灰羊，38女）

13/10/2004，星期三
初中(A27) 甲、乙兩人轮流报数，必须报不大於2的自然数，把兩人报的数加起來，
          谁报数后加起來的数是20，谁就获胜。
          如甲要取胜，是先报还是后报？报几？（请解释你的论点！） （已解）
          （答案：甲先报。报 2）
          （解对者：灰羊，fritlizt，38女）

14/10/2004，星期四
高中(B25) 如图，在圆 O 任意画二 互相垂直的(chord)：AB 及 CD。
          若 AB 与 CD 交点为 P 。
          求证： AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2 恒为某定值。
          （已解）
          （答案：--）
          （解对者：430201，灰羊）

15/10/2004，星期五
高中(B26) 若 　　a^3 + b^3 = 2.
          求证 　a + b ≤ 2. （已解）
          （答案：--）
          （解对者：430201）

16/10/2004，星期六
高中(B27) 已知 α 、β 为锐角，
         且 3(sin α)^2 + 2(sin β)^2 = 1；
            3(sin 2α) - 2(sin 2β) = 0，
         求证： α + 2β = π/2 。 （已解）
         （答案：--）
         （解对者：灰羊）

17/10/2004，星期日
大专(C9) 求证：
         （已解）
        （答案：--）
        （解对者：灰羊，多普勒效应）

18/10/2004，星期一
初中(A28) 100 个学生排成一列，由左到右，报数！
          1,2,3,...,100。
          现在喊奇数的学生退出；喊偶数的学生保留，然后由左到右，报数！
          1,2,3,...,50。
          现在喊奇数的学生退出；喊偶数的学生保留，然后由左到右，报数！
          1,2,3,...,25。
          。。。
          如此指令重复，直到最后一个学生！
          问：这最后一个学生第一次喊什么号码？ （已解）
          （答案：64）
          （解对者：430201，史奴比{^_^}）

19/10/2004，星期二
初中(A29) 若 1/a  + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c),
          求证 a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)^3。 （已解）
          （答案：--）
          （解对者：多普勒效应，430201）

20/10/2004，星期三
初中(A30) 小明将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 分别写在3X3的表格内（如下图），每格一个数字。
          他分别将各（横）行，和各（竖）列的三个数加起来。
          把和写在表的下方和右方。
          试找出 * 之值。
          （已解）
          （答案：7）
          （解对者：多普勒效应，430201，史奴比{^_^}）

21/10/2004，星期四
高中(B28) 我们设
          指令（1）为：由左到右，报数! 喊奇数的学生退出；喊偶数的学生保留，
          指令（2）为：由右到左，报数! 喊奇数的学生退出；喊偶数的学生保留，

          100 个学生排成一列。
          指令（1）
          指令（2）
          指令（1）
          指令（2）
          ...
          如此指令重复，直到最后一个学生！
          问：这最后一个学生第一次喊什么号码？ （已解）
          （答案：54）
          （解对者：430201）

22/10/2004，星期五
高中(B29) 若 0< a,b < 1 。
          试求
√{a^2 + b^2} + √{(1-a)^2 + b^2} + √{(1-a)^2 + (1-b)^2} + √{a^2 + (1-b)^2}
          的极小值。 （已解）
          （答案：2√2）
          （解对者：多普勒效应）

23/10/2004，星期六
高中(B30) 在三角形 ABC，角 C 为直角。
          试求 (a+b)/c 的极大值及极小值。 （已解）
         （答案：极大值=√2，没有 极小值...）
         （解对者：多普勒效应）

24/10/2004，星期日
大专(C10) 若 0 < x ,y < 1 。
          求证 1 < x^y  + y^x < 2 。 （待解）
          （答案：）
          （解对者：）

25/10/2004，星期一
初中(A31) 若　(a+b)/(a-b) = 7/4
          求  (a^2)/(b^2) 之值。 （已解）
          （答案：121/9）
          （解对者：多普勒效应，430201）

26/10/2004，星期二
初中(A32) 已知 六位数 174xyz 能被 7,11,13 整除。
          求 x + y + z 。 （已解）
          （答案：12）
          （解对者：430201，史奴比{^_^}）

27/10/2004，星期三
初中(A33) 在某一数，x 的前后各添上"1"。
          得到的数 y， 比 x 大 13439。
          求 x 。 （已解）
          （答案：382）
          （解对者：多普勒效应，430201，史奴比{^_^}）

28/10/2004，星期四
高中(B31) 已知 a, b 为正整数，且 (a,b) 满足  10 < a^2 + b^2 < 28 。
          问共有几组不同的 (a,b) ？
          （答案：11） （已解）
          （解对者：430201）

29/10/2004，星期五
高中(B32) (B32) 若 f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)…(x-10)，
          求 f '(10)。 （已解）
          （答案：9!）
          （解对者：ah_mok）

30/10/2004，星期六
高中(B33) 已知 x, y 为正整数，且 (x,y) 满足  1/x  +  1/y  = 1/30 。
         求 y 的极大值。 （已解）
         （答案：930）
         （解对者：430201）

31/10/2004，星期日
大专(C11)
          （待解）
          （答案：）
          （解对者：）


（不管是 已解 或 待解 的题目，欢迎网友们多多支持！让大家分享你们的 idea   谢谢  
若各位网友有哪些有趣、适合的问题，请短消息给我！！）

[ Last edited by 多普勒效应 on 31-10-2004 at 09:30 PM ]

fritlizt

pipi 于 30-9-2004 07:33 PM  说 :
基于之前的＂数学训练～每日一题＂里头的贴子算是蛮多的了，有网友向我反映在找答案是有点困难、有点眼花撩乱！！所以在这个十月份，开个新贴！！暂且命名为＂数学训练 ...

QPR 是一个半圆。
所以角QPR = 90.
半圆PQ 的面积为 ： pai  * PQ^2 /8
半圆PR 的面积为 ： pai  * PR^2 /8
半圆RQ 的面积为 ： pai  * RQ^2 /8

有根据 phytagoras theorem, 半圆PQ 的面积 + 半圆PR 的面积 = 半圆RQ 的面积
再扣除白色的面积，
A+B = C

不好意思， 把8 type 成4。

[ Last edited by fritlizt on 1-10-2004 at 06:27 PM ]

eeCyang

我用的方法比较复杂...
因为我不懂phytagoras theorem...

首先我找个别的半圆加起来的面积)-(整个图的面积)=白色的面积

就如fritlizt所说:

QPR 是一个半圆。
所以角QPR = 90.
半圆PQ 的面积为 ： pai * (PQ/2)^2/2
半圆PR 的面积为 ： pai * (PR/2)^2/2
半圆RQ 的面积为 ： pai * (RQ/2)^2/2

结果得:[pai * (PQ/2)^2/2 + pai * (PR/2)^2/2 + pai * (RQ/2)^2/2]
    -[pai * (PQ/2)^2/2 + pai * (PR/2)^2/2 + PQ*PR/2]
得 pai * (RQ/2)^2/2 -PQ*PR/2 这是白色的面积...

过后我才用左式证:

A+B= pai* (PQ/2)^2/2 + pai* (PR/2)^2/2 -[pai* (RQ/2)^2/2 -PQ*PR/2]

C= PQ*PR/2

那如果要令到A+B=C.. 那pai* (PQ/2)^2/2 + pai* (PR/2)^2/2= pai* (RQ/2)^2/2
这和phytagoras theorem很像...

但如果不知道有这theorem..我就不会证下去了..

eeCyang

eeCyang 于 1-10-2004 01:36 PM  说 :
我用的方法比较复杂...
因为我不懂phytagoras theorem...

首先我找个别的半圆加起来的面积)-(整个图的面积)=白色的面积

就如fritlizt所说:

QPR 是一个半圆。
所以角QPR = 90.
半圆PQ 的面积为 ：  ...

难道要带例子...PQ=3,PR=4,QR=5 来证????
不好意思..
麻烦各位教教我..

fritlizt

eeCyang 于 1-10-2004 02:01 PM  说 :


难道要带例子...PQ=3,PR=4,QR=5 来证????
不好意思..
麻烦各位教教我..

已知 PQ^2 + PR ^2 = QR^2
     (PQ/2)^2 + (PR/2)^2 = (QR/2)^2
     (PQ/2)^2/2 + (PR/2)^2/2 = (QR/2)^2/2
     pai * (PQ/2)^2/2 + pai * (PR/2)^2/2 = pai * (RQ/2)^2/2

只是在 PQ^2 + PR ^2 = QR^2  乘上一些 constant 罢了。

eeCyang

fritlizt 于 1-10-2004 02:20 PM  说 :



已知 PQ^2 + PR ^2 = QR^2
     (PQ/2)^2 + (PR/2)^2 = (QR/2)^2
     (PQ/2)^2/2 + (PR/2)^2/2 = (QR/2)^2/2
     pai * (PQ/2)^2/2 + pai * (PR/2)^2/2 = pai * (RQ/2)^2/2

只是在 PQ^2 + PR ^2 =  ...

对wor....
谢谢fritlizt提醒...真粗心啊...

pipi

fritlizt 于 30-9-2004 10:30 PM  说 :
QPR 是一个半圆。
所以角QPR = 90.
半圆PQ 的面积为 ： pai  * PQ^2 /8
半圆PR 的面积为 ： pai  * PR^2 /8
半圆RQ 的面积为 ： pai  * RQ^2 /8

有根据 phytagoras theorem, 面积PQ + 面积PR = 面积RQ
再扣除白色的面积，
A+B = C

你的做法正确，不过
面积PQ + 面积PR = 面积RQ
写得不明确！！
什么是面积PQ呢？？

eeCyang 于 1-10-2004 01:36 PM  说 :
我用的方法比较复杂...
因为我不懂phytagoras theorem...

phytagoras theorem...是你学过的＂毕氏定理＂！！

fritlizt

pipi 于 1-10-2004 06:18 PM  说 :

你的做法正确，不过
面积PQ + 面积PR = 面积RQ
写得不明确！！
什么是面积PQ呢？？


phytagoras theorem...是你学过的＂毕氏定理＂！！

阿哈， 刚才赶着去上课， 只是简简单单的解释一下。
现在又要出去了， 迟些回来再edit.
不好意思。

我也來玩玩﹐這題可用相似形來做。。。

設 PQ = a, PR = b, QR = c,
即 a,b,c 分別為三個半圓的直徑。
故 a^2 + b^2 = c^2

因為三個皆為半圓﹐即相似形。
而﹐  相似形的面積比 = (邊比)^2
      半圆 PQ 的面积 = (a^2/c^2) 半圆 QR 的面积
      半圆 PR 的面积 = (b^2/c^2) 半圆 QR 的面积
因此﹐半圆 PQ 的面积 + 半圆 PR 的面积 = 半圆 QR 的面积
半圆 PQ 的面积 + 半圆 PR 的面积 - 空白部份 = 半圆 QR 的面积 - 空白部份
即 A + B = C。

灰羊

<img src="http://home.pchome.com.tw/online/hycheah2000/cari1.GIF">

eeCyang

02/10/2004，星期六
高中(B21)
         x 是任意实数，求证： cos(cos x) ≥ sin x 。 （待解）
         （答案：）
         （解对者：）


-1<=cosx<=1,
cos(cosx)>0>=cos57'18   (cos1=cos57'18=cos-1)cos57'18=0.54024032...

当0<=x<=90', cos57'18<=cos(cosx)<=1, 0<=sinx<=1.
cos(cosx)和sinx的graf 相交与x=90'.
在0<=x<90',cos(cosx)>sinx

当90'<x<=180', 1<cos(cosx)<=cos57'18, 1<sinx<=0
同样的,cos(cosx)>sinx
在180'<x<=360'也得到cos(cosx)>sinx..

这样一直重复,所以cos(cos x) ≥ sin x , 当x 是任意实数..

但我觉得这样的解释还不够说服力,我会再努想其他方法...

灰羊

以我的程度只能證一半

當π≦x≦2π
sin x≦0
(sin在第三第四象限為負值)

cos(cos x)≧0
(因為在第三第四象限-1≦cos x≦1
∴cos(cos x)≧0)

故當π≦x≦2π時,
cos(cos x)≧sin x
恆成立

38女

当 1956, 1980 及 2004 除一正整数 a ，其余数均为 b 。
          求 a + b 的最大值。 （待解）
          （答案：）
          （解对者：）

我的数学不好，可以加入吗？
我是这么猜的：
1980 － 1956 ＝ 24
2004 － 1956 ＝ 48

gcd(24，48) ＝ 24

因此，12 ≡ 1956 (mod 24)
         ≡ 1980 (mod 24)
         ≡ 2004 (mod 24)
a ＝ 24；b ＝ 12

a + b ＝ 36

pipi

38女 于 4-10-2004 05:04 PM  说 :
我的数学不好，可以加入吗？
我是这么猜的：
我是这么猜的：
1980 － 1956 ＝ 24
2004 － 1956 ＝ 48
gcd(24，48) ＝ 24
因此，12 ≡ 1956 (mod 24)
         ≡ 1980 (mod 24)
         ≡ 2004 (mod 24)
a ＝ 24；b ＝ 12
a + b ＝ 36

38女，欢迎加入！！
你的答案是对的！！！
恭喜！！恭喜！！
有空常来！！

38女

好可怜，我已是大专生，但只懂得解初中题目……我还在努力尝试大专题目，高中那题，我解了，但答案似乎和别人一样，所以就没发上来了。

史奴比{^_^}

05/09/2004，星期二
初中(A23) 如图， PQRS 为一长方形。已知 PQ = 3 PS，ST:SR = 1:3 。
          求 三角形 SUT 的面积 和 阴影部分面积 之比。


若把PS=1, PQ = 3

那么，PQRS 面积 = 3

ST : SR = PS : PQ   (SR=PQ, ST=PS)
        = 1 : 3

SUT 面积 = 1/2 (ST*PS)
         = 1/2

阴部分面积 = PQRS 面积 - SUT 面积
           = 3 - 1/2
           = 5/2

那么，SUT 面积 ： 阴部分面积 =  （1/2） ： （5/2）
                             =  1 ： 5

对吗？

pipi

eeCyang 于 2-10-2004 11:46 AM  说 :
-1<=cosx<=1,
cos(cosx)>0>=cos57'18   (cos1=cos57'18=cos-1)cos57'18=0.54024032...

当0<=x<=90', cos57'18<=cos(cosx)<=1, 0<=sinx<=1.
cos(cosx)和sinx的graf 相交与x=90'.
在0<=x<90',cos(cosx)>sinx

当90'<x<=180', 1<cos(cosx)<=cos57'18, 1<sinx<=0
同样的,cos(cosx)>sinx
在180'<x<=360'也得到cos(cosx)>sinx..

这样一直重复,所以cos(cos x) ≥ sin x , 当x 是任意实数..

灰羊 于 4-10-2004 12:40 AM  说 :
以我的程度只能證一半

當π≦x≦2π
sin x≦0
(sin在第三第四象限為負值)

cos(cos x)≧0
(因為在第三第四象限-1≦cos x≦1
∴cos(cos x)≧0)

故當π≦x≦2π時,
cos(cos x)≧sin x
恆成立

这两种方法都是可行，只是没有将问题完全地解决！！

当0<=x<=90', cos57'18<=cos(cosx)<=1, 0<=sinx<=1.
cos(cosx)和sinx的graf 相交与x=90'.
在0<=x<90',cos(cosx)>sinx

(不过。。。这该如何证明？？)
或者各位可参考 微中子 之前在回答 多普勒效应
＂sin cos X =cos sin X＂
的解法！！

38女 于 5-10-2004 11:56 AM  说 :
好可怜，我已是大专生，但只懂得解初中题目……

我们的教育制度没有教会我们思考吧！
塞进去脑袋的充其量是一大堆的公式！！

但答案似乎和别人一样，所以就没发上来了。

也许你的答案有那么一点点跟别人不一样，贴上来吧。。。也许其他人能够从你的观点得到启发，也不一定！！

[ Last edited by pipi on 22-10-2004 at 10:35 AM ]

pipi

史奴比{^_^} 于 5-10-2004 01:24 PM  说 :
05/10/2004，星期二
初中(A23) 如图， PQRS 为一长方形。已知 PQ = 3 PS，ST:SR = 1:3 。
          求 三角形 SUT 的面积 和 阴影部分面积 之比。
若把PS=1, PQ = 3

那么，PQRS 面积 = 3

ST : SR = ...

这个方法在比赛（答案是objective）时，就比较快！
不过，正确的说法应该是
＂设PS=k, PQ = 3k＂。
...
共勉之

38女

06/10/2004，星期三
初中(A24) 已知 a = x + 1
               b = x + 2
               c = x + 3
          求 a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca 之值。 （待解）
          （答案：）
          （解对者：）

解：
b = a + 1; c = a + 2

a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca
= a^2 + (a + 1)^2 + (a + 2)^2 - a(a + 1) - (a + 1)(a + 2) - (a + 2)a
= a^2 + a^2 + 2a + 1 + a^2 + 4a + 4 - a^2 - a - a^2 -3a - 2 - a^2 - 2a
= 1 + 4 - 2
= 3

史奴比{^_^}

06/10/2004，星期三
初中(A24) 已知 a = x + 1
               b = x + 2
               c = x + 3
          求 a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca 之值。


另一个方法：

(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab
(b-c)^2 = b^2 + c^2 - 2bc
(c-a)^2 = c^2 + a^2 - 2ca

(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca

除以2 ：

[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]/2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca  （如题目所要的）

a-b = -1, b-c = -1 , c-a = 2

答案：  a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca  = [(-1)^2 + (-1)^2 + (2)^2]/2
                                        = 6/2  
                                        = 3