数学训练（十一月份）

初中 (A42)
若n^2 + 7可以被8整除，求 n 的形式

（1）若n＝2k
則n^2 + 7＝4k^2－1＋8＝(2k＋1)(2k－1)＋8不可能被8整除
（2）若n＝2k＋1
則n^2 + 7＝(4k^2＋4k＋1)＋7＝4k(k＋1)＋8 可以被8整除
故當n^2 + 7可以被8整除時，則n 的形式為2k＋1

初中 (A42)
若n^2 + 7可以被8整除，求 n 的形式

□修正版□
（1）若n＝2k
則n^2 + 7＝4k^2＋7恆為奇數，必不可能被8整除
（2）若n＝2k＋1
則n^2 + 7＝(4k^2＋4k＋1)＋7＝4k(k＋1)＋8 可以被8整除
【∵連續兩個整數的乘積恆為2的倍數，∴4k(k＋1)必為8的倍數】
故當n^2 + 7可以被8整除時，則n 的形式為2k＋1

多普勒效应

题目有所调动
星期一和二的题目已移到星期四，五

(1274，819)＝13×7
（1）若乙為13
     1274＝13×98，819＝13×63
     則甲為93
（2）若乙為91
     1274＝91×14，819＝91×9
     則甲為19
【把19看錯為9，嚴格來說，應該也算是看錯了十位數字】

設a＝2004^1111（a＞1）
∴A＝(2004^1111＋1)/(2004^2222＋1)＝(a＋1)/(a^2＋1)
  B＝(2004^2222＋1)/(2004^3333＋1)＝(a^2＋1)/(a^3＋1)
則A－B的分母＝(a^2＋1) (a^3＋1)＞0
   A－B的分子＝(a＋1)(a^3＋1)－(a^2＋1) (a^2＋1)
              ＝a×(a－1)^2＞0
故(2004^1111＋1)/(2004^2222＋1)＞(2004^2222＋1)/(2004^3333＋1)

灰羊

多普勒效应 于 22-11-2004 21:21  说 :
摘自我国奥林匹克数学比赛的 Bongsu（初阶）和Muda（中阶）

那...有規定那些數都是正整數嗎?

多普勒效应

一题有，一题没有。

灰羊

多普勒效应 于 31-10-2004 22:07  说 :
25/11/2004,星期四
高中 (B40)
解联立方程：
X_i 是实数   
X_1 + X_2 + ... + X_1999 = 1999
(X_1)^4 + (X_2)^4 + ... + (X_1999)^4 = (X_1)^3 + (X_2)^3 + ... + (X_1999)^3
（待解）
（答案：）
（解对者：）

只想到一個
x_1=x_2=...=x_1999=1
這題有幾個解阿?

多普勒效应

一个，不过要证明那是唯一的解...

多普勒效应

430201 于 24-11-2004 08:19 PM  说 :
(1274，819)＝13×7
（1）若乙為13
     1274＝13×98，819＝13×63
     則甲為93
（2）若乙為91
     1274＝91×14，819＝91×9
     則甲為19
【把19看錯為9，嚴格來說，應該也算是看錯了十位數字】

这题答错了。

灰羊

多普勒效应 于 31-10-2004 22:07  说 :
30/11/2004,星期二
初中 (A44)
证明 (a+ √2)/(b+ √2)是无理数。
（待解）
（答案：）
（解对者：）

a,b是任意實數嗎?
若a=-√2則此式為有理數...

□請問錯在那兒

（1）原甲＝93，乙＝13
    小胡：98×13＝1274
    小涂：63×13＝819
（2）原甲＝19，乙＝91
    小胡：14×91＝1274
    小涂：9×91＝819
【把19看錯為9，嚴格來說，應該也算是看錯了十位數字】

灰羊

多普勒效应 于 31-10-2004 22:07  说 :
30/11/2004,星期二
初中 (A44)
a , b 是有理数。
证明 (a+ √2)/(b+ √2)是无理数。
（待解）
（答案：）
（解对者：）

(a+√2)/(b+√2)
=(a+√2)(b-√2)/(b^2-2)
=[ab+2+(b-a)√2]/(b^2-2)

∵(b^2-2),ab,2都是有理數,且有理數+無理數=無理數
∴ab+2+(b-a)√2是無理數(除了a=b,則原式=1)
=>(a+ √2)/(b+ √2)是无理数
證畢

這樣ok???

灰羊

多普勒效应 于 31-10-2004 22:07  说 :
29/11/2004,星期一
初中 (A43)
x+y+z=2000 共有几个正整数解？
（待解）
（答案：）
（解对者：）

x=1時,y+z=1999有1999組解
x=2時,y+z=1998有1998組解
........................
x=1998時,y+z=2有1組解

解數=1+2+3+...+1999
    =1999000組

初中 (A43)
x+y+z=2000 共有几个正整数解？

1999×1998/2＝1997001

a , b 是有理数。
证明 (a+ √2)/(b+ √2)是无理数。

若(a＋√2)/(b＋√2)＝q（q為有理數）
（1）若a＝b，則(a＋√2)/(b＋√2)＝1為有理數
（2）若a≠b，即q≠1
則√2＝(a－bq)/q－1)
∵a、b、q為有理數
∴(a－bq)/q－1) 為有理數
與√2為無理數相矛盾
故假設(a＋√2)/(b＋√2)＝q（q為有理數）不成立
即(a＋√2)/(b＋√2)為無理數

To灰羊先進

個人認為
有理數+無理數=無理數
這個性質有必要先證明

xTo灰羊先進
您忙中有錯

=1時,y+z=1999有1998組解
x=2時,y+z=1998有1997組解
........................
x=1998時,y+z=2有1組解

解數=1+2+3+...+1998
    =1997001組

灰羊

說的也是....
謝拉430201
繼續破解剩下的題目吧

多普勒效应

430201 于 24-11-2004 08:19 PM  说 :
(1274，819)＝13×7（1）若乙為13
     1274＝13×98，819＝13×63
     則甲為93
（2）若乙為91
     1274＝91×14，819＝91×9
     則甲為19
【把19看錯為9，嚴格來說，應該也算是看錯了十位數字】

我的答案是甲＝21，乙＝49
一个人看成49 x 26 = 1274
另一个看成21 x 39 = 819