比賽題1120/1223

比赛题 1120)設ΔABC的三邊長構成三個連續整數，且∠B＝2∠C，則三邊長為何？

AC 上取 D ，使到 BD = CD ,那么 ABC similar ADB . 设 CD = x , AB=c,AC=b,BC=a 那么

AB/BC = AD/DB : c/a = (b-x)/x => x = ab/(a+c)

AC/BC = AB/DB : b/a = c/x => x = ac/b

=> ac/b = ab/(a+c) ==> ac = (b+c)(b-c)

如果 b = k+1 , c = k , 那么 a = 2 + 1/k ==> k = 1 ==> a=3,b=2,c=1 不可能
那么 b = k+1 , c = k-1 , a = k ==> k = 5

a = 5,b=6,c=4

比赛题 1223)（1）設P為正方形ABCD內部一點，已知PA＝5，PB＝4，PC＝1，試
求正方形ABCD的面積為何？

（2）設P為正方形ABCD內部一點，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，試
求正方形ABCD的面積為何？

PA=a,PB=b,PC=c
let S = area ==> AB = Sqrt[S]
let m = <ABP , n = <PBC
<ABP + <PBC = 90 ==> m+n=90

=> cos m = sin n

Cosine Rule : cos m = (S+b^2-a^2)/2Sqrt[S]b
cos n = (S+b^2-c^2)/2Sqrt[S]b

cos^2 m + cos^2 n = sin^2 n + cos^2 n = 1

==> (S+b^2-c^2)^2 + (S+b^2-a^2)^2 = 4Sb^2
==> 2S^2 -2(a^2+c^2)S + [(b^2-c^2)^2 + (b^2-a^2)^2] = 0

Quadratic

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 14-4-2007 11:54 AM 编辑 ]

dunwan2tellu

AC 上取 D ，使到 BD = CD ,那么 ABC similar ADB . 设 CD = x , AB=c,AC=b,BC=a 那么

AB/BC = AD/DB : c/a = (b-x)/x => x = ab/(a+c)

AC/BC = AB/DB : b/a = c/x => x = ac/b

=> ac/b = ab/(a+c) ==> ac = (b+c)(b-c)

如果 b = k+1 , c = k , 那么 a = 2 + 1/k ==> k = 1 ==> a=3,b=2,c=1 不可能
那么 b = k+1 , c = k-1 , a = k ==> k = 5

a = 5,b=6,c=4

kbubble

原帖由 dunwan2tellu 于 22-11-2006 11:40 AM 发表
AC 上取 D ，使到 BD = CD ,那么 ABC similar ADB . 设 CD = x , AB=c,AC=b,BC=a 那么

AB/BC = AD/DB : c/a = (b-x)/x => x = ab/(a+c)

AC/BC = AB/DB : b/a = c/x => x = ac/b

=> ac/b = ab/ ...

红色部分不明白,为什么可以=

dunwan2tellu

原帖由 kbubble 于 7-12-2006 09:03 PM 发表


红色部分不明白,为什么可以=

ABC , ADB = similar triangle

kbubble

i already use 简繁拼音输入法　回复帖子,but why cannot use chinese?


dunwan2tellu,can u please explain the basic of similar triangle to me?I had forgotten,so I found it hard to understand this question.Thank you

dunwan2tellu

原帖由 kbubble 于 8-12-2006 01:29 PM 发表
i already use 简繁拼音输入法　回复帖子,but why cannot use chinese?


dunwan2tellu,can u please explain the basic of similar triangle to me?I had forgotten,so I found it hard to understand this q ...

如果 ABC 和 PQR 是 similar triangle , 那么他们边长的比例已定一样 i.e

AB : PQ = AC : PR = BC : QR

OR

AB/PQ = AC/PR = BC/QR

meemee

cannot use chinese？？
是can't type chinese，but can read chinese word？？

如果用的是xp或win 2k，可以去安装中文输入法(IME)。

control panel -> regional and language options
在install files for East Asian languages打勾，还有需要有xp的CD

用不到佳礼的中文输入法，有可能是你电脑或电脑设定有问题。。。

[ 本帖最后由 meemee 于 9-12-2006 09:35 AM 编辑 ]

kbubble

原帖由 meemee 于 9-12-2006 09:34 AM 发表
cannot use chinese？？
是can't type chinese，but can read chinese word？？

如果用的是xp或win 2k，可以去安装中文输入法(IME)。

control panel -> regional and language options
在install fi ...

不好意思。。。英文不好
昨天刚下载软件，就用不到华文。不懂为何隔天又好了＝。＝

怎样安装中文输入法(IME)？需要CD？哪儿找？

kbubble

原帖由 dunwan2tellu 于 9-12-2006 09:17 AM 发表


如果 ABC 和 PQR 是 similar triangle , 那么他们边长的比例已定一样 i.e

AB : PQ = AC : PR = BC : QR

OR

AB/PQ = AC/PR = BC/QR

可是怎么知道那一个边对那一个边？
一定要AB : PQ？可以AB : PR吗？

[ 本帖最后由 kbubble 于 9-12-2006 10:40 AM 编辑 ]

meemee

原帖由 kbubble 于 9-12-2006 10:34 AM 发表


不好意思。。。英文不好
昨天刚下载软件，就用不到华文。不懂为何隔天又好了＝。＝

怎样安装中文输入法(IME)？需要CD？哪儿找？

aiyo。。。

就是这个步骤啦。。。
control panel -> regional and language options
在＂install files for East Asian languages＂打勾

"打勾"，再按"apply"之后，电脑可能会要求你放CD。。。
是window xp的installer CD。。。

dunwan2tellu

原帖由 kbubble 于 9-12-2006 10:38 AM 发表


可是怎么知道那一个边对那一个边？
一定要AB : PQ？可以AB : PR吗？

先画出来，然后比较角度。如果 ABC similar to PQR , 就表示 A 对 P , B 对 Q , C 对 R ,这样比较。所以不可以随便写 AB: PR .....

kbubble

什么情况下它是SIMILAR TRIANGLE？

为什么 AC 上取 D ，使到 BD = CD ,就会使到 ABC similar ADB？

kbubble

MEEMEE，CD要买的吗？

dunwan2tellu

原帖由 kbubble 于 9-12-2006 11:16 AM 发表
什么情况下它是SIMILAR TRIANGLE？

为什么 AC 上取 D ，使到 BD = CD ,就会使到 ABC similar ADB？

当 BD = CD 时，DBC 是等腰三角形。所以 <ACB = <DBC = 1/2 <B

那么 <ADB = <DCB + <DBC = <B = <ABC

而且 <ABD = 1/2 <B = <ACB

因此 ABC 和 ADB similar