高中数学训练题库

多普勒效应

高中 (B39-2)

（待解）
（答案：）
（解对者：）

多普勒效应

18/11/2004,星期四
高中 (B40)
设 0<a,b<90度 , 且 sin a-sin b = -1/3
     cos a - cos b= (2√2) /3
证明 b - a =60度
（已解）
（答案：）
（解对者：sinchee）

解法

多普勒效应

19/11/2004,星期五
高中 (B41)
N 是一个正整数，求最小的 N使 N^2 的末尾四数为 6004
（已解）
（答案：998）
（解对者：sinchee,430201）

解法（一）
設N的末尾二數為B，其餘為A
則N＝100A＋B
   N^2＝10000A^2＋2×100A×B＋B^2－－－－－（1）
即2×100A×B＋B^2的末尾四數為6004
  B^2的末二位數為04
設B＝（ab），顯然b＝2或8
一)若b＝2
  B^2＝100a^2＋40a＋4
  得a＝0或5
  1)a＝0→B＝02，
    則2×100A×B＋B^2＝400A＋4
即400A的末尾四數為6000
可得A的尾數為0或5
若A的尾數為0，得A的最小值為40；
若A的尾數為5，得A的最小值為15。
  2)a＝5→B＝52，
    則2×100A×B＋B^2＝10400A＋2704
即10400A的末尾四數為3300
    但4的倍數的尾數不可能為3，故無解。
二)若b＝8
   B^2＝100a^2＋160a＋64
   得a＝4或9
  1)a＝4→B＝48，
    則2×100A×B＋B^2＝9600A＋2304
即9600A的末尾四數為3700
    但6的倍數的尾數不可能為7，故無解。
  2)a＝9→B＝98，
    則2×100A×B＋B^2＝19600A＋96044
即19600A的末尾四數為6400
可得A的尾數為4或9
若A的尾數為4，得A的最小值為34；
    若A的尾數為9，得A的最小值為9。

綜上所述，故最小的N為998

解法（二）
因为 N^2 的末尾数为 4，
所以 N = 10A ± 2
     N^2 = 100A^2 ± 40A + 4

又，因为 N^2 的百位数字为 0，
故得知 A 的末尾数必须是 0，
因此，N 可以写成 100B ± 2，
      N^2 = 10000B^2 ± 400B + 4

要使千位数字为 6，
则 ± 400B 必须是 +...6000 或 -...4000。
即 B = 15,65,... 或 10,60,...
由此可见，N 的最小值为 100(10)-2，即998。

多普勒效应

20/11/2004,星期六
高中 (B42)
(abc)是一个三位数，问共有几个这样的三位数使 a≤b≤c.
（已解）
（答案：165）
（解对者：430201）

（1）a＝1，b＝1，c＝1～9
     a＝1，b＝2，c＝2～9
     ----------
     a＝1，b＝9，c＝9
     共：9＋8＋7＋…＋1＝45（個）
（2）a＝2，b＝2，c＝2～9
     a＝2，b＝3，c＝3～9
     ----------
     a＝2，b＝9，c＝9
     共：8＋7＋6－…＋1＝35（個）
-------------
（8）a＝8，b＝8，c＝8、9
     a＝8，b＝9，c＝9
     共：2＋1＝3（個）
（9）a＝9，b＝9，c＝9
     共：1（個）
合計＝45＋36＋28＋21＋15＋10＋6＋3＋1＝165（個

多普勒效应

25/11/2004,星期四
高中 (B43)
解联立方程：
X_i 是实数   
X_1 + X_2 + ... + X_1999 = 1999
(X_1)^4 + (X_2)^4 + ... + (X_1999)^4 = (X_1)^3 + (X_2)^3 + ... + (X_1999)^3
（待解）
（答案：）
（解对者：）

多普勒效应

26/11/2004,星期五
高中 (B44)
a_i 是正整数   i=1,2,3,...,n
已知 a_1 + a_2 + ... + a_n = 2002
求 (a_1)(a_2)...(a_n)的最大值。
（待解）
（答案：）
（解对者：）

多普勒效应

27/11/2004,星期六
高中 (B45)
i,j是正整数，
当 i,j 属于 S ，则 (i+j)/gcd(i,j) 属于 S
找出所有有限非空集 S
[ gcd(a,b) 表示 a,b 的最大公因数 ]
（待解）
（答案：）
（解对者：）