高中数学训练题库

pipi

经灰羊及 yaahoo网友建议，我觉得我也该整理整理一下之前数学训练的题目，因为那确实让人看得眼花撩乱。。。

以下的每一张贴都是网友们的贡献，我只是将它们弄得＂好看＂些

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 12:38 PM ]

pipi

19/08/2004，星期四
高中(B1) 已知 (y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b)，
         求证  (x+2y-3z)/(4x+5y-6z) = (a+2b-3c)/(4a+5b-6c) （已解）
        （答案：--）
        （解对者：辉文，sinchee）

解法（一）
x(b+c) + y(c-a) - z(a+b)=0   ---(1)
x(c-b) + y(a+c) - z(a+b)=0   ---(2)
-x(b+c) + y(a+c) + z(a-b)=0 ----(3)


(1) + (3) 得到  2cy-2bz=0
所以                 z= cy/b

(1) - (2) 得到  2bx-2ay=0
所以                 x = ay/b

好了， 现在把 x, z 代人式子(x+2y-3z)/(4x+5y-6z),即：

= _a/b + 2 -3(c/b)_
  4(a/b)+ 5 - 6(c/b)
注意，y已经去掉了，还有同分母去掉 B，就可以证明等於右边的式子

= _(a+2b-3c)_
  (4a+5b-6c)
(已证)

解法（二）
设(y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b) = k
则(y+z) = k(b+c)   (i)
  (z+x) = k(c+a)   (ii)
  (x+y) = k(a+b)   (iii)

(i)+(ii)+(iii),  x+y+z = k(a+b+c)   (iv)
(iv) - (i),      x = ka
(iv) - (ii),     y = kb
(iv) - (iii),    z = kc

因此(x+2y-3z)/(4x+5y-6z)=(ka+2kb-3kc)/(4ka+5kb-6kc)
                        =(a+2b-3c)/(4a+5b-6c)

pipi

20/08/2004，星期五
高中(B2) a,b,c,d 为任意正数，设 S = a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)
         求证：  1 < S < 2 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：sinchee）

因为a,b,c,d 为任意正数，
a/(a+b+d) > a/(a+b+c+d)
b/(a+b+c) > b/(a+b+c+d)
c/(b+c+d) > c/(a+b+c+d)
d/(a+c+d) > d/(a+b+c+d)
所以
S > a/(a+b+c+d) + b/(a+b+c+d) + c/(a+b+c+d) + d/(a+b+c+d) = 1


而且，
a/(a+b+d) < a/(a+b)
b/(a+b+c) < b/(a+b)
c/(b+c+d) < c/(c+d)
d/(a+c+d) < d/(c+d)
所以
S < a/(a+b) + b/(a+b) + c/(c+d) + d/(c+d) = 2

故  1 < S < 2

pipi

21/08/2004，星期六
高中(B3) 已知 7^82 + 8^161 能被 57 整除，
         求证 7^83 + 8^163 也能被 57 整除。 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：fritlizt，强，飞彦）

解法（一）
设 7^82 + 8^161 = k

7^83 + 8^163 = 7^82+(6*7^82) + 8^161+(63*8^161)

             =k + 3(2*7^82+21*8^161)
            
             = k + 3（2k + 19*8^161)
            
             = k + 6k + 57*8^161
k 能被57 整除。
所以 k + 6k + 57*8^161 也能被57整除


解法（二）
7^82 + 8^161 被５７除
7^83 + 8^163 =7*(7^82)+64*(8^161)=7*(7^82+8^161)+57*(8^161)也被57除

pipi

26/08/2004，星期四
高中(B4) 求证
         (i)        数列 11,111,1111,...
         (ii)       数列 44,444,4444,...
            中的每一项都不是完全平方数。 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：sinchee）

(i)      
设 x^2 = 1111...
则 x必为一奇数，
若 x = 2k + 1
  x^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 1111...
  4(k^2 + k) = 111...110

但，
111...110 不能被4整除
所以1111... 不是完全平方数


(ii)      
设 x^2 = 4444...
则 x必为一偶数，
若 x = 2k
  x^2 = 4k^2 = 4444...
  k^2 = 1111...
因为1111... 不是完全平方数
所以4444... 也不是完全平方数

pipi

27/08/2004，星期五
高中(B5) 如图，四个一角钱硬币，其中蓝色的沿着其他三个滚了一圈，直到回到原位为止。
         请问蓝色的硬币，共转了多少度？ （已解）
               

        （答案：1080度）
        （解对者：微中子，sinchee）

尝试画出来吧,
我是画出来看的.

不懂怎样跟你解释.

转了一次就有360度了.
选一个定的点,比如开始接触的那一点.
转了一边之后,看那一点在哪里,然后乘三就可以了.
希望我讲的明白.


Remark:


看看此图,应该看得出转了一次就是360度了.
看红色点的方向.
有三个, 所以一共3*360.

pipi

28/08/2004，星期六
高中(B6) 设 n (>3) 为自然数且 n, n+2 为质数。
         求证 n+1 是 6 的倍数。 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：sinchee）

因为 n, n+2 为质数，
所以 n+1为偶数。
也因为 n, n+2 为质数，不能被3整除，
所以 n+1 能被3整除。

故 n+1 是 6 的倍数。

pipi

2/09/2004，星期四
高中(B7) 若 (1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+...+(1001)(1001!) 除以 2004，求其余数。 （已解）
        （答案：2003）
        （解对者：sinchee）

设
(i)         : (1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+...+(1001)(1001!)        
(ii)        :    (1!)  +  (2!)  +  (3!)  + ... + (1001!)               
(i) + (ii)  :  (2)(1!)+(3)(2!)+(4)(3!)+ ... +(1002)(1001!)
             =   (2!)  +  (3!)  + (4!) + ... + (1002!)     -----------(iii)
(i) = (iii) - (ii) = (1002!) - 1
因为(1002!) 可被2004整除，
所以(i)  除以 2004 的余数为2003.

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 12:00 PM ]

pipi

3/09/2004，星期五
高中(B8) 设 0< a < 90(度)，sin(a) + cos(a) = sqrt(2)。
         求 sin(a) + sin(2a) + ... + sin(8a) 之值。 （已解）
        （答案：0）
        （解对者：陈敏慧）

解法（一）
sin(3a)= sin(2a+a)=sin(2a)cos(a)+cos(2a)sin(a)=cos(a)=sin(a)
sin(4a)= 2sin(2a)cos(2a)=0
sin(5a)= sin(4a+a)= sin(4a)cos(a)+cos(4a)sin(a)= -sin(a)
sin(6a)= sin(4a+2a)=sin(4a)cos(2a)+cos(4a)sin(2a)= -1
sin(7a)= sin(3a+4a)= sin(3a)cos(4a) +cos(3a)sin(4a)=-sin(3a)=-sin(a)
sin(8a)= 2sin(4a)cos(4a)=0


将 sin(a)+sin(2a)+...+sin(8a)全部加起来也是等於零。


解法（二）
由0< a < 90(度)，sin(a) + cos(a) = sqrt(2)，我们得知 a = 45度，所以我们有
sin(8-k)a = sin(8a-ka) = -sin(ka)
由此， sin(a) + sin(2a) + ... + sin(8a) = 0

pipi

4/09/2004，星期六
高中(B9) 若 (a+b)/(a-b) = (b+c)/(2(b-c)) = (c+a)/(3(c-a)),
         求证： 8a + 9b + 5c = 0 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：陈敏慧，sinchee）

解法（一）
设 (a+b)/(a-b) = (b+c)/(2(b-c)) = (c+a)/(3(c-a))=k，得到

      (a+b)=k(a-b)
      (b+c)= 2k(b-c)
      (c+a)= 3k(c-a)

所以 8a+9b+5c= 6a+2a+6b+3b+3c+2c
             = 6(a+b) + 3(b+c) + 2(a+c)
把 (a+b)，(b+c)，(c+a)代人进去，得到
    8a+9b+5c= 6(k(a-b)) +3(2k(b-c))+ 2(3k(c-a))
            = 0

得证，8a+9b+5c=0。



解法（二）
若 (a+b)/(a-b) = (b+c)/(2(b-c)) = (c+a)/(3(c-a)) = k
(i)       : (a+b) = k(a-b)
(ii)      : (b+c) = 2k(b-c)
(iii)     : (c+a) = 3k(c-a)
(i)+(ii)+(iii):a+b+c = -ka + (1/2)kb + (1/2)kc
(iv)-(i)  : c = -2ka + (3/2)kb +(1/2)kc
(iv)-(ii) : a = -ka - (3/2)kb + (5/2)kc
(iv)-(iii): b = 2ka + (1/2)kb - (5/2)kc
8a + 9b + 5c = 8[-ka - (3/2)kb + (5/2)kc]
                + 9[2ka + (1/2)kb - (5/2)kc]
                + 5[-2ka + (3/2)kb +(1/2)kc]
             = 0

pipi

9/09/2004，星期四
高中(B10) 若 n 为自然数，求证 n^2 + n + 2 不能被 15 整除。 （已解）
         （答案：--）
         （解对者：sinchee）

若 n = 3k,
n^2 + n + 2 = 9k^2 + 3k + 2
            = 3(3k^2 + k) + 2
            = 2(mod3)
若 n = 3k + 1,
n^2 + n + 2 = 9k^2 + 9k + 4
            = 3(3k^2 + 3k + 1) + 1
            = 1(mod3)
若 n = 3k + 2,
n^2 + n + 2 = 9k^2 + 15k + 8
            = 3(3k^2 + 5k + 2) + 2
            = 2(mod3)

因此 n^2 + n + 2 不能被 3 整除﹐當然也不能被15整除。

pipi

10/09/2004，星期五
高中(B11) 若 n 为整数，
          试将 1 + 1/n^2 + 1/(n+1)^2 可写成 (a/b)^2 的形式，其中 a,b 为整数。 （已解）
         （答案：[(n(n+1)+1)/n(n+1)]^2）
         （解对者：chwk87，强）

解法（一）
1 + 1/n^2 + 1/(n+1)^2
=(n^2+1)/n^2+ 1/(n+1)^2
=((n+1)^2-2n)/n^2+ 1/(n+1)^2
=((n+1)^2(n+1)^2-2n(n+1)^2+n^2)/n^2(n+1)^2
设 n+1为 x
(x^4-2nx+n^2)/n^2x^2
=(x^2-n)^2/(nx)^2
=(n^2+n+1)^2/(n^2+n)^2
所 以 a=n^2+n+1 and b=n^2+n
已 知 n 为整数，
所 以 a和 b也 是 整数



解法（二）
2n^2+2n+1+n^2(n+1)^2
=n(n+1)^2+2n(n+1)+1


1 + 1/n^2 + 1/(n+1)^2
=1+[(n+1)^2+n^2]/[n^2*(n+1)^2]
=1+(2n^2+2n+1)/(n^2(n+1)^2)
=[(n^2(n+1)^2+2n(n+1)+1]/(n^2(n+1)^2)
=[(n(n+1)+1)/n(n+1)]^2

pipi

11/09/2004，星期六
高中(B12) 把1600粒花生分给100只猴子。
          证明：不管怎样分，至少有4只猴子得到的花生一样多。
          能否找到一种分法，使得没有5只猴子得到同样多的花生。 （已解）
         （答案：--）
         （解对者：sinchee）

先来证明：不管怎样分，至少有4只猴子得到的花生一样多。
假设第1到第99只猴子，没有4只猴子得到的花生一样多。
意思是说，最多有3只分得一样多。
最省花生的分法，当然是3只0粒，3只1粒，3只2粒，… ,3只32粒，依此类推。
分完99只猴子后，共分了1584粒。(等差级数)
剩下16粒，分给第100只猴子，
这就有4只猴子得到的花生一样多了。

pipi

16/09/2004，星期四
高中(B13) 下图所示为边长为 1 的正方体。
          AC 及 BE 为对角线。P、Q 分别是 AC 及 BE 上的点。
          那么 PQ （沿着立方体表面）的最短距离为＿＿＿。
          （已解）
         （答案：1/√2）
         （解对者：fritlizt）

把立方体打开来看。
PQ 最短的距离是当PQ 直角的时候。
PQ = RB
ABCD = 正方形
RB = AR
AR = 1/2 AC
   = 1.4142
PQ = 1.4142/2
   = 0.7071

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 11:41 AM ]

pipi

17/09/2004，星期五
高中(B14) 图中所示为两个半径为 1 的圆，其中心分别为原点及(1,0)。
          求阴影部分的面积（答案以 π 或根号(surd form)来表示）。
          （已解）
         （答案：1/6 π  + √3/4）
         （解对者：sinchee）

阴影部分的面积
= (120/360) π – [(60/360) π – (1/2)(1)(√3/2)]
= 1/6 π  + √3/4

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 10:18 AM ]

pipi

18/09/2004，星期六
高中(B15) 证明：
          （已解）
         （答案：--）
         （解对者：sinchee）

当 r=1, 1/r^2 =1,
   r>1, 1/r^2>0
所以 ∑1/r^2  > 1
然后。。。请看下图：


[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 11:55 AM ]

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23/09/2004，星期四
高中(B16) 若 a,b 为 方程式 x^2 + 6x + 1 = 0 之根，
          求 （√a + √b）^2 之值。 （已解）
          （答案：- 8）
          （解对者：fritlizt）

(a+b) < 0, ab = 1,所以， a ,b < 0 ;
a,b  < 0;
√a√b = -√ab

(√a + √b)^2 = (a + b) - 2√ab
               = (- 6) - 2(√1)
               = - 8

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 11:50 AM ]

pipi

24/09/2004，星期五
高中(B17) 设 {a} 为任意的等差数列，其公差为 d，而且{a}的每一项皆是整数。
          若 w,x,y,z 为{a} 连续的四项。
          证明：wxyz + d^4 是个完全平方数。 （已解）
          （答案：--）
          （解对者：止战之殇）

{w,x,y,z} = {m,m+d,m+2d,m+3d}
wxyz + d^4 = (m)(m+d)(m+2d)(m+3d) + d^4
           = (m^2 + md)(m^2 + 5md + 6d^2) + d^4
           = m^4 + 5dm^3 + 6[(md)^2] + dm^3 + 5[(md)^2] + 6md^3 + d^4
           = m^4 + 6dm^3 + 11[(md)^2] + 6md^3 + d^4
           = (m^2 + d^2)^2 + 6dm^3  + 6md^3 + 9[(md)^2]
           = (m^2 + d^2)^2 + 6md(m^2 + d^2) + 9[(md)^2]
           = [(m^2 + d^2) + 3md]^2

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 11:42 AM ]

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25/09/2004，星期六
高中(B18)
          （已解）
         （答案：--）
         （解对者：sinchee）

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 11:48 AM ]

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30/09/2004，星期四
高中(B19)
          （已解）
          （答案：--）
          （解对者：eeCyang，止战之殇）

解法（一）
设x^p=a,x^q=b,x^r=c.
得abc=1 ==> ab = 1/c , bc = 1/a , b = 1/ac
1/(1+x^p+1/[x^q]) + 1/(1+x^q+[1/x^r]) + 1/(1+x^r+[1/x^p])
= 1/(1+a+[1/b]) + 1/(1+b+[1/c]) + 1/(1+c+[1/a])
= b/(b+ab+1) + c/(c+bc+1) + a/(a+ac+1)
= [1/ac]/[(1/ac)+(1/c)+1] + c/[c+(1/a)+1] + a/[a+ac+1]
= [1/ac]/[(1+a+ac)/ac] + c/[(ac+1+a)/a] + a/[a+ac+1]
= [1/ac]*[ ac/(1+a+ac)] + ac/[(ac+1+a)] + a/[a+ac+1]
= 1/[1+a+ac] + ac/[(ac+1+a)] + a/[a+ac+1]
= 1


解法（二）


[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 11:56 AM ]