数学训练～每日一题

pipi

正如我在＂逻辑数学论坛意见箱、讨论区(大家请进^^)＂
http://chinese.cari.com.my/myfor ... 5wnN&sid=465wnN
里提出的，这个礼拜起，我会每天都会贴一个数学题目（一般的比赛题目）。程度方面就由初中至高中，乃至大专都会有。
（ 大概是这样：
               星期一至星期三：初中 (A)
               星期四至星期三：高中 (B)
               星期日        ：大专 (C) ）

我的用意是想让大家参与。所以程度浅的也有，深的也有，任君选择属于自己能力范围里的。也希望大家能多多互相讨论！！


请多多支持！！
（答案最快在隔天公布）
答对三题者的积分将被提高，以示鼓励！！

16/08/2004，星期一
初中(A1) 不可用计算机，找出下列的值：
        (16082004)(26082004) - (16082005)(26082003)   （已解）
        （答案：-9999999）
        （解对者：無聊人，强，chwk87）

17/08/2004，星期二
初中(A2) 若 x^2 + 2x + 3 = 0 。
         求 x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 6x + 3 之值。 （已解）
        （答案：3）
        （解对者：無聊人，chwk87，辉文）

18/08/2004，星期三
初中(A3) 若 n 为自然数，求证 n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 能被 3 整除。 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：fritlizt，强）

19/08/2004，星期四
高中(B1) 已知 (y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b)，
         求证  (x+2y-3z)/(4x+5y-6z) = (a+2b-3c)/(4a+5b-6c) （已解）
        （答案：--）
        （解对者：辉文，sinchee）

20/08/2004，星期五
高中(B2) a,b,c,d 为任意正数，设 S = a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)
         求证：  1 < S < 2 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：sinchee）

21/08/2004，星期六
高中(B3) 已知 7^82 + 8^161 能被 57 整除，
         求证 7^83 + 8^163 也能被 57 整除。 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：fritlizt，强，飞彦）

22/08/2004，星期日
大专(C1) 设 p(x) = a + bx + 3cx^2 + dx^3 + 5ex^4 为一实数多项式。
         已知 a + c + e = 0，求证 p(x) = 0 在区间 [-1,1] 中有一实根。 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：**）

23/08/2004，星期一
初中(A4) 不可用计算机（或对数表(sifir)），决定以下的最大值（并说出原因）：
        (a) 6^100　  (b) 5^200　(c) 4^300  (d) 3^400   (e) 2^500 （已解）
        （答案：(d) 3^400）
        （解对者：fritlizt）

24/08/2004，星期二
初中(A5) 某年的六月份里有三个星期三是奇数，该月的13日是星期几？ （已解）
        （答案：星 期 一 ）
        （解对者：chwk87，快乐）

25/08/2004，星期三
初中(A6) 若 x/(a-b) = y/(b-c) = z/(c-a)，求 x + y + z 。 （已解）
        （答案：0）
        （解对者：chwk87，快乐）

26/08/2004，星期四
高中(B4) 求证
         (i)        数列 11,111,1111,...
         (ii)       数列 44,444,4444,...
            中的每一项都不是完全平方数。 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：sinchee）

27/08/2004，星期五
高中(B5) 如图，四个一角钱硬币，其中蓝色的沿着其他三个滚了一圈，直到回到原位为止。
         请问蓝色的硬币，共转了多少度？ （已解）
               

        （答案：1080度）
        （解对者：微中子，sinchee）

28/08/2004，星期六
高中(B6) 设 n (>3) 为自然数且 n, n+2 为质数。
         求证 n+1 是 6 的倍数。 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：sinchee）

29/08/2004，星期日
大专(C2) 设 f(x) 为可微(differentiable)偶函数 （即 f(-x) =  f(x) for all x）。求证
         (i)  f '(x) 为奇函数 （即 f '(-x) = - f '(x) for all x）。
         (ii) f '(0) = 0                        （已解）
        （答案：--）
        （解对者：sinchee）

29/08/2004，星期日
大专(C2)' a,b,c 为整数。
          若 a^2 + b^2 + c^2 是 16 的倍数，
          求证 a^3 + b^3 + c^3 是 64 的倍数。   （已解）
        （答案：--）
        （解对者：辉文，微中子）

30/08/2004，星期一
初中(A7) 设 a 为 x^2 + x + 1 = 0 的其中一个解。
         求 1/(1-a) + 1/(1- a^2) 。 （已解）
        （答案：1）
        （解对者：sinchee）

31/08/2004，星期二
初中(A8) 不可用计算机，找出下列的值：
         99999 * 77778  +  33333 * 66666  。 （已解）
        （答案：9999900000）
        （解对者：sooshi，止战之殇）

1/09/2004，星期三
初中(A9) 若 x < 0, x - 1/x = 1 。 求 x + 1/x 之值。 （已解）
        （答案：- sqrt(5)）
        （解对者：sinchee）

2/09/2004，星期四
高中(B7) 若 (1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+...+(1001)(1001!) 除以 2004，求其余数。 （已解）
        （答案：2003）
        （解对者：sinchee）

3/09/2004，星期五
高中(B8) 设 0< a < 90(度)，sin(a) + cos(a) = sqrt(2)。
         求 sin(a) + sin(2a) + ... + sin(8a) 之值。 （已解）
        （答案：0）
        （解对者：陈敏慧）

4/09/2004，星期六
高中(B9) 若 (a+b)/(a-b) = (b+c)/(2(b-c)) = (c+a)/(3(c-a)),
         求证： 8a + 9b + 5c = 0 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：陈敏慧，sinchee）

5/09/2004，星期日
大专(C3) k 为正整数， 求证：
         （已解）
        （答案：--）
        （解对者：微中子）

6/09/2004，星期一
初中(A10) 在 3 点与 4 点之间，时钟的长针和短针重合的时间是多少？ （已解）
         （答案：3点16分21.8秒）
         （解对者：jolin~yo~yo，强，sinchee）

7/09/2004，星期二
初中(A11) 试证：三个连续奇数的平方和 加上 1，不能被 24 整除。 （已解）
         （答案：--）
         （解对者：chwk87，flyingfish）

8/09/2004，星期三
初中(A12) 把 10^4 - 4 计算出来的号码（即 10000 - 4 = 9996）的每个数字（即 9,9,9,6）加起来，可得 9+9+9+6=33。
          那么把 10^809 - 809 计算出来的号码的每个数字加起来又是多少呢？ （已解）
         （答案：7265）
         （解对者：ANNIE^_^LIM）

9/09/2004，星期四
高中(B10) 若 n 为自然数，求证 n^2 + n + 2 不能被 15 整除。 （已解）
         （答案：--）
         （解对者：sinchee）

10/09/2004，星期五
高中(B11) 若 n 为整数，
          试将 1 + 1/n^2 + 1/(n+1)^2 可写成 (a/b)^2 的形式，其中 a,b 为整数。 （已解）
         （答案：[(n(n+1)+1)/n(n+1)]^2）
         （解对者：chwk87，强）

11/09/2004，星期六
高中(B12) 把1600粒花生分给100只猴子。
          证明：不管怎样分，至少有4只猴子得到的花生一样多。
          能否找到一种分法，使得没有5只猴子得到同样多的花生。 （已解）
         （答案：--）
         （解对者：sinchee）

12/09/2004，星期日
大专(C4) 在边长为 2 的正六边形上任意点 25 个点。
         证明：存在着两点，其距离小于 1。 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：sinchee）

13/09/2004，星期一
初中(A13) 若 abc = 1, 求证： 1/(ab+a+1) + 1/(bc+b+1) + 1/(ac+c+1) = 1 （已解）
         （答案：--）
         （解对者：止战之殇，430201）

14/09/2004，星期二
初中(A14) 某场戏剧的入门票为成人 RM30，学生 RM15。
          这戏剧是在拥有 600 张座位的礼堂举行。
          当局共卖出价值 RM15000 的入门票。
          已知仍有一些座位空置，那么学生的人数最多为＿＿＿。 （已解）
         （答案：198）
         （解对者：sinchee ）

15/09/2004，星期三
初中(A15) OX 及 OY 是圆 O 的半径。
          XMY 是以 XY 为直径的半圆。
          如图所示， T，S，C 分别为各个部分的面积。
          那么 T 之比为＿＿＿。
          （已解）
         （答案：1:1）
         （解对者：chwk87）

16/09/2004，星期四
高中(B13) 下图所示为边长为 1 的正方体。
          AC 及 BE 为对角线。P、Q 分别是 AC 及 BE 上的点。
          那么 PQ （沿着立方体表面）的最短距离为＿＿＿。
          （已解）
         （答案：1/√2）
         （解对者：fritlizt）

17/09/2004，星期五
高中(B14) 图中所示为两个半径为 1 的圆，其中心分别为原点及(1,0)。
          求阴影部分的面积（答案以 π 或根号(surd form)来表示）。
          （已解）
         （答案：1/6 π  + √3/4）
         （解对者：sinchee）

18/09/2004，星期六
高中(B15) 证明：
          （已解）
         （答案：--）
         （解对者：sinchee）

19/09/2004，星期日
大专(C5) 某个醉汉目前在位置 "5"，他的家在位置 "8"，而位置 "0" 则是断崖。
          由于他分不清方向，设他每次移动一单位，且只走向左或向右，而每次向左或向右的机率皆为 1/2。
          若到位置 "8"，则家人迎接他（安全抵达）。
          若到位置 "0", 则跌入断崖。。。（无法继续行程）
          求此醉汉安全回到家的机率。
          （已解）
        （答案：5/8）
        （解对者：sinchee，斷羽鳥）

20/09/2004，星期一
初中(A16) 不可用计算机，求 x:
          x / 1200905200904  =  1160804 / 1200904 （已解）
         （答案：1160805160804）
         （解对者：止战之殇）

21/09/2004，星期二
初中(A17) A 是含有 21 数字的偶数。
          已知 A 是完全平方数，及 A 的十位数为 6。
          那么 A 的个位数则为＿＿。 （已解）
          （答案：4）
          （解对者：sinchee）

22/09/2004，星期三
初中(A18) 若实数 a,b 满足 0 < a < b 和 a^2 + b^2 = 6ab,
          那么(a+b)/(a-b) 为 _______。 （已解）
          （答案：-√2）
          （解对者：止战之殇，430201）

23/09/2004，星期四
高中(B16) 若 a,b 为 方程式 x^2 + 6x + 1 = 0 之根，
          求 （√a + √b）^2 之值。 （已解）
          （答案：- 8）
          （解对者：fritlizt）

24/09/2004，星期五
高中(B17) 设 {a} 为任意的等差数列，其公差为 d，而且{a}的每一项皆是整数。
          若 w,x,y,z 为{a} 连续的四项。
          证明：wxyz + d^4 是个完全平方数。 （已解）
          （答案：--）
          （解对者：止战之殇）

25/09/2004，星期六
高中(B18)
          （已解）
         （答案：--）
         （解对者：sinchee）

26/09/2004，星期日
大专(C6) 如下图，在单位圆（即半径为 1）的圆周上取 5 个点。
         （将这5点连起来，可形成正五边形）
         现在，5 点中任选 1 点，将此点接连其余 4 点，得四个线段.
         设这四个线段的长度分别为 a,b,c,d。
         求证： abcd = 5
          （已解）
        （答案：--）
        （解对者：止战之殇，fritlizt）

27/09/2004，星期一
初中(A19) 不可用计算机，找出下列的值：
         √{5 + √(21)} + √{5 - √(21)}
         （答案以根号(surd form)来表示） （已解）
         （答案：√14）
         （解对者：eeCyang）

28/09/2004，星期二
初中(A20) 如图，角 ABC 及 角 BDA 皆是直角。
          若 v + w = 35，x + y = 37，
          求 y 之值。
          （已解）
          （答案：12）
          （解对者：eeCyang）

29/09/2004，星期三
初中(A21) 若 x < -2，试简化 |1-|1+x||。 （已解）

          （答案：-2-x）
          （解对者：eeCyang）

30/09/2004，星期四
高中(B19)
          （已解）
          （答案：--）
          （解对者：eeCyang，止战之殇）

敬请留意：
（明天）下个月起，＂数学训练＂将开个新贴！！
标题也是类似＂数学训练（十月份）＂。

（不管是 已解 或 待解 的题目，欢迎网友们多多支持！让大家分享你们的 idea   谢谢  
若各位网友有哪些有趣、适合的问题，请短消息给我！！）

[ Last edited by pipi on 21-10-2004 at 11:50 PM ]

flash

pipi 于 16-8-2004 08:30  说 :
正如我在＂逻辑数学论坛意见箱、讨论区(大家请进^^)＂
http://chinese.cari.com.my/myfor ... 5wnN&sid=465wnN
里提出的，这个礼拜起，我会每天 ...

pipi网友，我想题目应该是

(16082004)(16082004) - (16082005)(16082003)

吧？

pipi

flash 于 16-8-2004 11:18 AM  说 :
pipi网友，我想题目应该是
(16082004)(16082004) - (16082005)(16082003)
吧？

flash 兄，多谢指正！我 edit 了！！
题目是
(16082004)(26082004) - (16082005)(26082003)

强

flash 于 16-8-2004 11:18 AM  说 :


pipi网友，我想题目应该是

(16082004)(16082004) - (16082005)(16082003)

吧？

大家不妨可以先做这题先。。。

無聊人

是-9999999吗？

fritlizt

题目是 (16082004)(16082004) - (16082005)(16082003) 或 (16082004)(26082004) - (16082005)(26082003) ？？？？？

如果是(16082004)(16082004) - (16082005)(16082003) 的话。那答案等于1
a^2-(a+1)(a-1) = a^2-(a^2-1) = a^2-a^2+1 = 1

[ Last edited by fritlizt on 16-8-2004 at 05:38 PM ]

pipi

fritlizt 于 16-8-2004 05:31 PM  说 :
1

a^2-(a+1)(a-1) = a^2-(a^2-1) = a^2-a^2+1 = 1

你是做哪一题呢？？

(16082004)(16082004) - (16082005)(16082003)
或
(16082004)(26082004) - (16082005)(26082003)

我的题目是(16082004)(26082004) - (16082005)(26082003)
不过玩玩(16082004)(16082004) - (16082005)(16082003) 也无妨。

我相信这两题对你来说都不是问题。。。

無聊人 于 16-8-2004 05:08 PM  说 :
是-9999999吗？

对！！！

其他初中的朋友，请试试吧！！

[ Last edited by pipi on 16-8-2004 at 06:06 PM ]

DarknessAngel

pipi 于 16-8-2004 11:57 AM  说 :

flash 兄，多谢指正！我 edit 了！！
题目是
(16082004)(26082004) - (16082005)(26082003)

答案是'1'吧.....

的算法是 ( 4 * 4 ) - ( 5 * 3 ) = 1

因为前面的都一样，所以就可以免了吧。。

不知道对不对。。。。。

pipi

DarknessAngel 于 16-8-2004 05:44 PM  说 :
答案是'1'吧.....

的算法是 ( 4 * 4 ) - ( 5 * 3 ) = 1

因为前面的都一样，所以就可以免了吧。。

不知道对不对。。。。。

试算算：
(44)(54) - (43)(55) 及 (44)(54)-(45)(53)
会不会是 1 呢？？

[ Last edited by pipi on 16-8-2004 at 06:05 PM ]

强

ab-(a+1)(b-1)=ab-(ab+b-a-1)=a-b+1

chwk87

(16082004)(26082004) - (16082005)(26082003)
=(16082004)(26082003+1) - (16082004+1)(26082003)
=(16082004)(26082003)+(16082004) - (16082004)(26082003)-(26082003)
=16082004-26082003
=-9999999

强

若 x^2 + 2x + 3 = 0 。
         求 x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 6x + 3 之值。

这题相信大家都会吧。。。

無聊人

强 于 17-8-2004 02:41 PM  说 :
若 x^2 + 2x + 3 = 0 。
         求 x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 6x + 3 之值。

这题相信大家都会吧。。。

Is it 3?

chwk87

X^2+2X+3=0

So, x^2+2x=-3

    (x^2+2x)=(-3)^2
    x^4+4x^3+4X^2=9
    x^4+4x^3+4X^2+3x^2+6x+3=9+3x^2+6x+3
    x^4+4x^3+7X^2+6x+3=3(X^2+2X+3+1)
                      =3(0+1)
                      =3

[ Last edited by chwk87 on 17-8-2004 at 09:02 PM ]

强

若 n 为自然数，求证 n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 能被 3 整除。

n=4???

辉文

强 于 17-8-2004 14:41  说 :
若 x^2 + 2x + 3 = 0 。
         求 x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 6x + 3 之值。

这题相信大家都会吧。。。

无聊人、chwk87，答案是对的。

x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 6x + 3
=x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x^3 + 4x^2 + 6x + 3
=x^2(x^2 + 2x + 3) + 2x ( x^2 + 2x + 3) +3
=3

pipi

若 n 为自然数，求证 n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 能被 3 整除。

各位网友，不要吝啬给出解答，请＂慷慨解囊＂！！

强 于 18-8-2004 10:10 AM  说 :
n=4???

强，n 为自然数。。。（我有回答到你的问题吗？）

18/08/2004，星期三
初中(A3) 若 n 为自然数，求证 n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 能被 3 整除。 （待解）
        （答案：n=18）

n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 = n^3(2) + 3(n^2)/2 (2) + n/2 (2)
                     = 2n^3 + 3(n^2) + n
                     = 2n^3 + 3n^2 + n     (如n是1)
                     = 2^3 + 3^2 +1
                     = 8 + 9 + 1
                     = 18
能被 3 整除 = 18/3 = 6

[ Last edited by Leong_hikaru on 20-8-2004 at 11:30 PM ]

fritlizt

初中(A3) 若 n 为自然数，求证 n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 能被 3 整除。

n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 = (2n^3+3(n^2)+n)/2

2n^3+3(n^2)+n 肯定是偶数。 所以只要考虑 2n^3+3(n^2)+n 即可。3（n^2）肯定能被三整除。
只要证 2n^3+n 能被三除即可。

2n^3+n = n(2n^2+1)
有三个condition.
1.n=3k
2.n=3k+1
3.n=3k+2

当n等于3k时。
n(2n^2+1) = 3k(2(3k)^2+1)
能被三除。

当n等于3k+1时。
n(2n^2+1) = （3k+1）(2(3k+1)^2+1)
          = (3k+1)(18k^2+12k+2+1)
          = 3(3k+1)(6k^2+4k+1)
能被三除 。


当n等于3k+2时。
n(2n^2+1) = （3k+2）(2(3k+2)^2+1)
          =  (3k+2)(18k^2+24k + 9)
          = 3(3k+2)(6k^2+8k+3)
能被三除


所以n^3 + 3(n^2)/2 + n/2
能被三除。
给任何n

对吗？？？
有没有比较简单的方法？？？

[ Last edited by fritlizt on 18-8-2004 at 10:51 PM ]

辉文

Leong_hikaru 于 18-8-2004 22:37  说 :
18/08/2004，星期三
初中(A3) 若 n 为自然数，求证 n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 能被 3 整除。 （待解）
        （答案：n=9）

题目好象要求证明而已，不是找出n的值。注意"求证"这个字

用数学归纳法也可以证明

由于n是自然数，因此n=0是无效的。从n=1开始吧！

设n=1，式子n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 ＝１＋3/2+1/2
                                = 3
因此命题成立。

另外设n=k，命题也成立，即式子K^3 + 3(k^2)/2+k/2能被３整除。

当n=k+1时， (k+1)^3+ 3(k+1)/2+ (K+1)/2
=(k+1)/2[ 2(+1)^2 +(k+1）+1]
=(k+1)/2[(2k+3)(k+2)]
这就是说当n=k+1时，命题也成立。

[ Last edited by 辉文 on 18-8-2004 at 11:41 PM ]