奥林比克

强

1) a+b+c<=6, 证

   a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1)>=2

暂时贴一题

euro

还有其他条件吗？ 因为哦

a+b+c <=  6

let a=0, b=0, c =0

then a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1) = 0 < 2

so a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1)>=2 不成立。

是不是 a,b,c 都要大于2啊？

pipi

这次的题目很有问题！！！
真不懂他们怎么搞的。。。
可悲。。。可悲。。。


sulong 的有两题 错！！！
muda 的也 有两题 错！！！
bongsu 的...（我没去看）。。。

flyingfish

pipi 于 24-4-2004 23:25  说 :
这次的题目很有问题！！！
真不懂他们怎么搞的。。。
可悲。。。可悲。。。


sulong 的有两题 错！！！
muda 的也 有两题 错！！！
bongsu 的...（我没去看）。。。

pipi网友,sulong,muda,bongsu是什么来的?是不同级别吗?

pipi

flyingfish 于 25-4-2004 09:00 AM  说 :

pipi网友,sulong,muda,bongsu是什么来的?是不同级别吗?

那些名堂都是组别。。。
sulong --- form 5, form 6 的组别
muda   --- form 3, form 4 的组别
bongsu --- form 1, form 2 的组别

sulong 的有两题 错！！！
muda 的也 有两题 错！！！

我还是因为这件事感到愤怒，伤心，无奈。。。

[ Last edited by pipi on 25-4-2004 at 11:40 AM ]

详圣

... 条件就是
a,b,c>= 0
就有如你说的。。当
a = 0 , b = 0 , c = 0 .....的时候。。。渣到。。

详圣

他可能是要你证明他的题目错。。哈哈。。


[数学比赛加分(20分) - + 20分]

[ Last edited by 微中子 on 25-7-2004 at 06:31 PM ]

记得前年的考题也有问题，那时我是sulong组的。
他要表达2·3竟然写成2.3
奇怪的是我竟然做到，哈哈！当然是没分啦，题目都误解了！

多普勒效应

Muda 的第一题给的条件是不可能的（对角线 = 边），真的给它吓到....

多普勒效应

OMK Muda 的题目 （没记错的话）:
1.ABCD 是长方形 ，边是 AB,BC,CD,DE ,such that |AB|=|CD| ,|AD|=|AC|
  E 是 BD 上一点 ，F 是 CD 上一点 ，such that CF >= CD,CE >= AC ,
证明 CF+EF+CE >= 2BD

2.一个二位数，被他的数字之和(sum of digits) 除，最大的余数是甚么？？

3. (4005 x 2005 x 2002 + 1998)/(2004^2) = ??

4.if a+b+c<=6, 证
   a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1)>=2

5. (忘了，只记得是用 Vieta's Theorem 的 ...)

强

差不多每年的题目都会有错！！

应该是他们想让大家发现错误的地方！！！

多普勒效应

PERSAMA 也未免太草率了......
全国性的比赛也酱马虎....

斷羽鳥

嗨！ 受人所托 。。。

if a+b+c<=6, 证
a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1)>=2

不懂对吗？ 大家指教! ... 这题目肯定少了些舍麽，constraint, a,b,c > 0 也不太对！ 我觉得应该是 a,b,c > 1 (试试看选用a=0.001,b=0.001,c=0.001) a,b,c <>1 给 -1<a,b,c<0 好像也可以！

okay 就当a,b,c > 1 来做吧！

Q: Proof a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1) >= 2
Meaning that we need to prove the existance of a real number, ε≥0, such that:-
a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1) - ε = 2 or in a proper way we prove
a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1) - ε -2 =0

given a,b,c > 1
=> 1<a<4 and 1<b<4 and also 1<c<4

considering term a/(a^2-1), the fact that  1<a<4 =>  a/(a^2-1) > 4/15
the same goes with b/(b^2-1) and c/(c^2-1)

This imply that there exist ε1, ε2, ε3 > 0 such that
a/(a^2-1) - ε1 = 4/15,
b/(b^2-1) - ε2 = 4/15 and
c/(c^2-1) - ε3 = 4/15.

add-up all the possible terms, we get
a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1) -(ε1+ε2+ε3) = 4/5
=>
a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1) -(ε1+ε2+ε3)-4/5 = 0
if we choose ε1+ε2+ε3 = ε + 6/5, then we have

a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1) -ε-2 = 0 (proved)

不懂对吗叻！ 不对别骂我哦！

flyingfish

一些怪怪的方法：
if (1) a+b+c<=6, 证
(2)  a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1)>=2

if m>a &  (m^2-1)>0......(3)
m/(m^2-1)<a/(a^2-1).............(4)
因为(m^2-1)增加的比m快。

从(3)，m<(-1)or m>1......(5)

let m=max(a,b,c)
3m>=a+b+c

要满足(1)，
3m<=6
m<=2......(6)

从(4)，
m=max(a,b,c)
=>m/(m^2-1)=min[a/(a^2-1),b/(b^2-1),c/(c^2-1)]

3m/(m^2-1)<=a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1)

从(5)和(6)，1<m<=2
3m/(m^2-1)>=2

a/(a^2-1)+b/(b^2-1)+c/(c^2-1)>=2

(还在消化鸟兄的方法。。。)

Actually there should be a more accurate constraint for this question
i.e. a,b,c > 1 for the question to be valid.
If this is the condition, you can should be able to solve the question easily using harmonic-arithnmetical mean.

1/(a^2-1) + 1/((b^2-1) + 1/ (c^2-1)
={ 1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) + 1/(a-1) + 1/(b-1) + 1/(c-1) }/2
>=9{ 1/( a + b + c + 3 ) + 1/( a + b + c - 3) }/2
= 9{ 1/9 + 1/3 }/2
=2

It is known that (x + y + z )/3 >= 3/( 1/x + 1/y + 1/z ) iff x,y,z > 0
By using this relation you can get 1/x + 1/y + 1/z>= 9/( x + y + z )
Since a + b + c >= 6

I am sorry to be unable to use chinese because I currently do not have the software

[ Last edited by Eggman on 7-5-2004 at 08:46 AM ]

flyingfish

Eggman 于 7-5-2004 08:21  说 :
Actually there should be a more accurate constraint for this question
i.e. a,b,c > 1 for the question to be valid.
If this is the condition, you can should be able to solve the question easil ...

Eggman网友的方法很好很工整。。佩服。

(x + y + z )/3 >= 3/( 1/x + 1/y + 1/z ) iff x,y,z > 0
这是不是很常用到的不等式？
哈哈，不好意思，以前没用过。。
不过已导出来了，用(a+1/a)>=2

数学论坛越多高手了，佩服。

n/(1+a1 + 1/a2 + …1/an) =< nth root of (a1a2a3…an) =<  (a1 + a2 + …..+an)/n

抱歉，本人不大会用电脑来输入数学符号。
以上所列出的不等式，是比较广义的。
主要条件是 a1,a2....,an > 0


flying fish 夸奖了， 我只是对数学拥有十分浓厚的兴趣而已。

pipi

Eggman 于 7-5-2004 08:21 AM  说 :
1/(a^2-1) + 1/((b^2-1) + 1/ (c^2-1)
={ 1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) + 1/(a-1) + 1/(b-1) + 1/(c-1) }/2
>=9{ 1/( a + b + c + 3 ) + 1/( a + b + c - 3) }/2
= 9{ 1/9 + 1/3 }/2
=2

应该是 a/(a^2-1) + b/((b^2-1) + c/ (c^2-1) 吧。

Eggman, 你的答案干净利落，好！！！

pipi 于 10-5-2004 02:53 PM  说 :


应该是 a/(a^2-1) + b/((b^2-1) + c/ (c^2-1) 吧。

Eggman, 你的答案干净利落，好！！！

抱歉， 本人太粗心了，连题目也抄错。

强

2003年的题目

1。 证明 5^4+4*3^(4n) 不是质数！！！

2。 证明 kos (2pi/5) + kos (4pi/5) =-0.5,

3。 如 x1+x2+x3+......+x2002=2002

    证 x1/(1+x1^2)+x2/(1+x2^2)+........+x2002/(1+x2002^2)>=1/(1+x1)+1/(1+x2)+...+1/(1+x2002)